单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $R$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $R$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的？
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点；
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点；
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 未必有间断点；
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 没有间断点；
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，有（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小．
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小．
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小．
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小．
设 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去间断点．
$\text{B.}$ 跳跃间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点．
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件．
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}(k$ 为正整数 $)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)}-1}{\cos x-1}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^3+3 x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
已知函数
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
(\cos x)^{x^{-2}}, 0 < |x| < \frac{\pi}{2} \\
a, x=0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 连续，则 $a=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^x & x < 0 \\ a+x & x \geq 0\end{array}\right.$ ，应当如何选择数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
讨论函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ 的连续性，若有间断点，判别其类型．
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, b>0, c>0)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan x}{\sqrt{1-x^2}-1}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x} & x>0 \\ a+x^2 & x \leq 0\end{array}\right.$ ，要使 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，应怎样选择数 $a$ ？
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$
求 $f(x)$ 的间断点，并说明间断点所属类型．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1$ ．
证明方程 $\sin x+x+1=0$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根．
证明方程 $x^5-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
证明方程 $x=a \sin x+b$ ，其中 $a>0, b>0$ ，至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$ ．
已知 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．