解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明数列 $x_n=\sin \frac{n \pi}{2}(n=1,2, \ldots)$ 是发散的．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一般项 $x_n=\frac{\cos \frac{n \pi}{2}}{n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1, x < 0, \\ 0, x=0, \\ x+1, x>0 .\end{array}\right.$ ，说明：当 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在．
求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ ．
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}>0$ ，存在 $\delta>0 f(x)$ 在 $(-\delta, \delta)$ 内可导，则在 $(0, \delta)$ 内，$f^{\prime}(x)$ 的符号为
求 $f(x)=\frac{x}{x}, \phi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左，右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．