解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明数列 $x_n=\sin \frac{n \pi}{2}(n=1,2, \ldots)$ 是发散的．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一般项 $x_n=\frac{\cos \frac{n \pi}{2}}{n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1, x < 0, \\ 0, x=0, \\ x+1, x>0 .\end{array}\right.$ ，说明：当 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在．
求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ ．
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}>0$ ，存在 $\delta>0 f(x)$ 在 $(-\delta, \delta)$ 内可导，则在 $(0, \delta)$ 内，$f^{\prime}(x)$ 的符号为
求 $f(x)=\frac{x}{x}, \phi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左，右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．
说明 $\lim _{x \rightarrow \infty} e^x$ 不存在．
说明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x$ 不存在．
函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？这个函数是否为当 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大？为什么？
函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上无界，但这函数不是当 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^3+4 x^2+2}{7 x^3+5 x^2-3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0}=$
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{e^x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x}{x^x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$;
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)=1$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n}$（ $x$ 为不等于零的常数）．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}(k$ 为正整数 $)$ ．