单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$ ，则 ( ).
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $(0,0)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点， $x=0$ 是 $g(x)$ 的极值点
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ "表示" $M$ 的充分必要条件是 $N$ "，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则
$$
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \text { 等于 }
$$
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
已知函数 $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 均为 $n$ 维列向量, $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关.
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性无关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关.
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 转性无关.
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^2 d x \int_{4-x^2}^4 f(x, y) d y=$
$\text{A.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{B.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{\sqrt{4 y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{C.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_2^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^4 d y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y)\right] d x$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ ${C}={P}^T {A} {P}$
$\text{D.}$ ${C}={P A} {P}^T$
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
$\int_0^1 d y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) d x=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\int_1^t \frac{u \sin u^2}{1+u^2} d u\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1) 3^n} x^n$ 的收敛半径为 $R=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
计算$\left|\begin{array}{llll}
a & b & c & d \\
x & 0 & 0 & y \\
y & 0 & 0 & x \\
d & c & b & a
\end{array}\right|=$
求函数的一阶偏导数：$f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2 y}{x^2+y^2} & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 & x^2+y^2=0\end{array}\right.$.
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int \frac{1}{x(1+2 \ln x)} d x$
设 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1+x^2, x < 0 ; \\
e^{-x}, x \geq 0 \text { ．}
\end{array}\right. $
求 $ \int_1^3 f(x-2) d x$
已知三阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right]$ ( $k$ 为常数)，且 $A B=0$ ，求线性方程组 $A X=0$ 的通解.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=1-\xi$.
(2) 存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$.
设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
(1) 验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3.2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
