单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
设函数 $f(x), g(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(1)=1, f^{\prime}(2)=2, g(1)=a, g^{\prime}(1)=4$, 令 $b=\left.\frac{d f(g(x))}{d x}\right|_{x=1}$, 则
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时,$b=4$.
$\text{B.}$ 当 $a=1$ 时,$b=5$.
$\text{C.}$ 当 $a=1$ 时,$b=8$.
$\text{D.}$ 当 $a=2$ 时,$b=6$.
$\text{E.}$ 当 $a=2$ 时, $b=7$.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
在下列选择中，当 $x \rightarrow 0^{+}$时，是 $\sqrt{x}$ 的等价无穷小的是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内连续，$f(0)=0$ ，又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 可导，但 $f^{\prime}(0) \neq 0$
$\text{B.}$ 不可导
$\text{C.}$ 取极小值
$\text{D.}$ 取极大值
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{1}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n \pi$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^n}{(n+1)^n}$ ．
设向量组 $\alpha_1=(1,-1,1,0)^T, \alpha_2=(1,1,-1,0)^T, \alpha_3=(-1,1,1, t)^T$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3(\quad)$
$\text{A.}$ 必线性无关
$\text{B.}$ 必线性相关
$\text{C.}$ 必相互正交
$\text{D.}$ 相关与否与 $t$ 有关
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-3 x \sin \frac{1}{x}\right)=$
求曲线 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 的拐点;
求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n \frac{\ln n}{2^n} x^n$ 的收敛半径和收敛域。
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^2}{2} \\ y=1-t\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{d^2 y}{d x^2}=$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$.
设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$, 若点 $(1,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 且 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，（I）常数 $a, b, c$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数 $f(x)$ 的极值.
求方程 $x y^{\prime}-y=x \tan \frac{y}{x}$ 的通解.
设 S 是由曲线 $y=x^2$ 与 $y=4 x-x^2$ 围成的一平面图形, 求:
(1) 平面图形 $S$ 的面积;
(2) 平面图形 S 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 V.
已知矩阵 $X$ 满足 $2 X=A X + B$, 且 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 求 $X$ 。
设函数 $z=f(x, y)$ 由方程 $x+z=e^{z-y}$ 所确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．
积分 $\int_0^2 d x \int_x^2 e^{-y^2} d y$ 的值
求解齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+x_3+x_4+x_5=0 \\
2 x_1+4 x_2+3 x_3+x_4+x_5=0 \\
-x_1-2 x_2+x_3+3 x_4-3 x_5=0 \\
2 x_3+5 x_4-2 x_5=0
\end{array}\right.
$$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 2 x}{x^2}, x < 0 \\ A, x=0 \\ \frac{\sin x-B \int_0^x e ^{-t^2} d t}{x}, x>0\end{array}\right.$ 处处连续，试确定常数 $A, B$ 的值．