单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{t^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x=( D )$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $e ^{b-a}$
$\text{D.}$ $e ^{a-b}$
设函数 $e^x f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$, 则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{e}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{1}{e}$.
$\text{E.}$ $2-\frac{2}{e}$.
下面 "结论" 中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 都收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 的收敛性不确定
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的邻域内具有二阶连续导数，$f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=0$ ，则 $f(x) $ ．
$\text{A.}$ $x=0$ 必为 $f(x)$ 的零值点
$\text{B.}$ $x=0$ 必为 $f(x)$ 的极值点
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{|x|}=1,(0, f(0))$ 为 $f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{\sin x}=1,(0, f(0))$ 必为 $f(x)$ 的拐点
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\sin \left(x^2+y^2\right)}=-1$ ，则
$\text{A.}$ $f_x(0,0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f_x(0,0)$ 存在但不为零
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极小值
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A ^*$ 中位于 $(1,2)$ 的元素是
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
已知向量
$$
\alpha_1=(1,-3,4), \alpha_2=(1,-2,2), \alpha_3=(1,-2,4), \alpha_4=(1,0,-2), \alpha_5=(0,1,1)
$$
则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=x^n e^{-x}(n>0, x \geq 0)$ 的单调增区间
已知微分 $d f(x)=\left( e ^x+2 \cos x\right) d x$ ，则 $f(x)=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\int_1^t \frac{u \sin u^2}{1+u^2} d u\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
由方程 $x y=e^{x+y}$ 确定的隐函数的导数 $\frac{d y}{d x}=$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1) 3^n} x^n$ 的收敛半径为 $R=$
行列式 $I=\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|$ =
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sin x-1}{\arcsin x^2}$
计算不定积分 $\int \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} d x$.
$\int \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$
求微分方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解.
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} x d x$ ；
设 $x=e^u \cos v, y=e^u \sin v, z=u v$ ，试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$ ．求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$ ．
$t$ 为何值时，齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+t x_3=0 \\
x_1-x_2+2 x_3=0 \\
-x_1+t x_2+x_3=0
\end{array}\right.
$$
有非零解，并此时求其一般解。
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的可导函数, 且满足: $0 < f(x) < 1$, 试证:
(1) 至少存在一点 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=\xi^{2019}$;
（2）至少存在一点 $\eta \in(0,1)$, 使得 $3 f(\eta)+\eta f^{\prime}(\eta)=2022 \eta^{2019}$ 。
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+y=x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(x \neq 0)$, 且 $y(1)=3 \mathrm{e}$.
(I) 求 $y=y(x)$ 的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线 $y=y(x)$ 与 $y=k(k>0)$ 不同交点的个数.
设曲线 $y=3 a x^2+2 b x+\ln c$ 经过 $(0,0)$ 点, 且当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $y \geqslant 0$. 设该曲线与直线 $x=1, x$ 轴所围图形的平面图形 $D$ 的面积为 1 . 试求常数 $a, b, c$ 的值, 使得 $D$ 绕 $x$ 轴一周后, 所得旋转体的体积最小.