单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $x \rightarrow 0$ 时， $e^{\tan x}-e^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\int_0^{1-\cos x} \sin t^2 \mathrm{~d} t, g(x)=\frac{x^3}{5}+\frac{x^6}{6}$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha ，$
且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量， $y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $e^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{D.}$ $\pi e^{\frac{\pi}{4}}$
" 对任意给定的 $\varepsilon \in(0,1)$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n \geq N$时，恒有 $\left|x_n-a\right| \leq 2 \varepsilon$ “是数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但非必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
曲线 $y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的拐点是
$\text{A.}$ $(1,0)$
$\text{B.}$ $(2,0)$
$\text{C.}$ $(3,0)$
$\text{D.}$ $(4,0)$
函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$
1、当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题:
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜斩近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
已知函数 $f(x, y)=\ln (y+|x \sin y|)$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 不存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 存在
$\text{B.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 存在, $\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 不存在
$\text{C.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均存在
$\text{D.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均不存在
已知函数 $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给出以下三个命题:
(1) 若 $\int_0^{+\infty} f^2(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
(2) 若存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) 若 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在.其中真命题的个数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续， $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续， $x=-1$ 处连续
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零. 若当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, ( )
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
在 $x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量中与 $x$ 等价的是
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$.
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$.
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$.
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt[4]{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}-x)$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=$
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 有二阶连续导数，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$.
(1) 求 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 讨论 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续性.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^2}$.
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导， $f(x)>0$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且满足 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{x}}$, 求 $f(x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{e^x-1}}$.
已知 $f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$ ，求 $f(x)$ 的凹凸性及渐近线。
设 $y=y(x)$ 满足
$$
y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}, y(1)=3
$$
求曲线 $y=y(x)$ 的渐近线.
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
(附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（I）$f(x)>0$ ；
（II）$f(1)=1, f(x+1)=x f(x)$ ；
（III）$\varphi(x)=\ln f(x)$ 是下凸函数．
试证：$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad(0 < x < 1)$ ．