单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在区问 $[a, b]$ 上有定义, 对于命题
(1) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必存在间断点
(2) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有界
下列选项正确的是
$\text{A.}$ 仅 (1) 正确
$\text{B.}$ 仅（2）正确
$\text{C.}$ 都正确
$\text{D.}$ 都错误
设实数数列 $\left\{a_n\right\}$, 给出以下四个命题:
1) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_n=\sin A$.
2) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_n=\sin A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$.
3) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}=e^A$.
4) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}=e^A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$.
其中真命题的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$\text{E.}$ 4
下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调，数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的任何子列都收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+5 x)^{\frac{1}{\sin x}}$;
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2+3 n^3}\right) \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{n}}$;
已知 $f^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^2}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right)$ 。
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt[4]{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}-x)$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-x^4}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{\frac{4}{3}}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-\sin x+\ln (1+x)}{x \sin ^2 x}$ 。
求极限$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln \left(1+\sin ^2 x\right)}-\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}\right]$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
x y \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\
0, & x^2+y^2=0
\end{array} ;\right.
$$
证明:
(1) $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)=f(0,0)$;
(2) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
求函数 $y=4 \mathrm{e}^{-x}\left(2 x^2+x+1\right)-5$ 的单调区间，极值，上凸区间Q与下凸区间， 以及拐点的横坐标。
设可导函数 $ f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
( I ) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
(II) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A+$ )
设 $f \in C[0,1] ， g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证:
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) \mathrm{d} x=\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int_0^1 g(x) \mathrm{d} x\right) 。
$$
讨论下列数列的敛散性。
$$
a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\sqrt[n]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}}
$$
设 $\alpha$ 为给定的实数, 若函数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \sin \left(n x+\frac{1}{n x}\right)
$$
关于 $x \in(0,2 \pi)$ 内闭一致收敛, 求 $\alpha$ 的取值范围.
用极限定义证明: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x^2+1}=-1$.
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x-\sin (\sin x))^{\frac{1}{x^3}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}-1\right]$ 之值.
(1) 求 $\int_0^\pi \frac{1}{1+\cos ^2 x} d x$ 和 $\int_0^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+\cos ^2 x} d x$;
(2) 证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x \frac{\sin ^2 t}{1+\cos ^2 t} d t}{\int_0^x \frac{1}{1+\cos ^2 t} d t}=2-\sqrt{2}$ 。
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, b>0, c>0)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ．