一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则当 $n$ 为大于 2 的正整数时, $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{n}(x)$ 是
$\text{A.}$ $n ![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $n ![f(x)]^{2 n}$
设 $f(x)=3 x^{3}+x^{2}|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 2 阶导数，则（ ）
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时， $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0, f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $\left.y^{\prime \prime \prime}\right|_{x=\sqrt{3}}=$
设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$ ，则 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=$
设 $y=\arctan e^x-\ln \sqrt{\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}}$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$
设函数 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^2}$, 且 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$,则 $a=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 e^t+t+1, \\ y=4(t-1) e^t+t^2\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$.
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+x y+y^3=3$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(1)=$
已知函数 $f(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(2 \pi)=$
设方程 $x^3+y^3-3 x+6 y=2$, 则 $\left.\frac{d^2 x}{d y^2}\right|_{x=2}=$
设 $y=x\left(\sin ^6 x+\cos ^6 x\right)$, 则 $y^{(10)}=$
设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同, 则该圆的方程为
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $y=1+x e^{x y}$, 求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}$ 及 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}$
设 $y=\sin \left[f\left(x^2\right)\right]$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
设 $y=f(x+y)$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1 ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$