一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列直线中不是曲线 $y=\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的渐近线的是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2+1$.
$\text{C.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2$.
$\text{D.}$ $y=-2 x \ln 2-\frac{1}{4} \ln 2-1$.
设曲线 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t|t|, \\ y=t^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{3}}\end{array}\right.$ 确定, 则该曲线的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设曲线 $L: y=\ln x$, 则
$\text{A.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\ln 2}{2}\right)$ 点取得最小曲率半径 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
$\text{B.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\ln 2}{2}\right)$ 点取得最大曲率半径 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, 1-\ln 2\right)$ 点取得最小曲率半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{D.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, 1-\ln 2\right)$ 点取得最大曲率半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) d x$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 2, & \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi\end{array} F(x)=\int_0^x f(t) d t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点.
$\text{B.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点.
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导.
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{ d x}{x \ln x}$.
$\text{C.}$ $\int_{ e }^{+\infty} \frac{ d x}{x(\ln x)^2}$.
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{ d x}{x \sqrt{\ln x}}$.
设函数 $y=f(x)$ 有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=2$, 则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处增量 $\Delta y$ 是（）
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $(\quad)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$, 则当 $n \geq 2$ 时, $f^{(n)}(x)$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $n![f(x)]^{2 n}$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
在区间 $[0,1]$ 上， $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，写出 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 的大小关系
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求不定积分: $\int e^{x \sin +\cos x}\left(\frac{x^4 \cos ^3 x-x \sin x+\cos x}{x^2 \cos ^2 x}\right) \mathrm{d} x$
(1) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 证明: $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(a+b-x) d x$
(2) 在 (1) 的条件下，若 $x=\frac{a+b}{2}$ 为 $f(x)$ 的对称轴证明: $\int_a^b x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$
计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$, 求 $f^{(11)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \neq 0$
证明: $\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a} e^{-\eta}$
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x-\sin (\sin x))^{\frac{1}{x^3}}$.
已知数列 $a_n=\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.