一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $f(x)=(x-1)(2 x+1)$, 则在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内 $f(x)$.
$\text{A.}$ 单调增加, 且为凹弧
$\text{B.}$ 单调减少, 且为凹弧
$\text{C.}$ 单调减少, 且为凸弧
$\text{D.}$ 单调增加, 且为凸弧
已知 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$, 则 $\int f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C, & x>1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C_1, & x < -1 \\ x+C_2, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C_3, & x>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛,则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛。
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设数列通项
$$x_n=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}, & n \text { 为奇数, } \\
\frac{1}{n}, & n \text { 为偶数. }
\end{array}\right.
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $ x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量.
$\text{B.}$ 无穷小量.
$\text{C.}$ 有界变量.
$\text{D.}$ 无界变量.
.函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$.
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) d t$.
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) d t$.
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] d t$.
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] d t$.
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$.
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$.
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$.
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$.
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e ^{-x^2} d x$.
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} d x$.
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi^2$.
二、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算不定积分 $\int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} \mathrm{~d} x$ (其中根号 $\sqrt{ }$ 有 $n$ 重)。
求不定积分 $\int \frac{x^2+2}{\left(x^2+x+1\right)^2} \mathrm{~d} x$
对函数 $e^{x^2}$ 在 $[0, x](x>0)$ 上应用积分中值定理，有 $\int_0^x e^{t^2} d t=x e^{\theta(x) x^2}$其中 $\theta(x) \in(0,1)$ ，计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)$