一、单选题 (共 9 题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确)
设 $D$ 是矩形域: $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4},-1 \leqslant y \leqslant 1$,则 $\iint_D x \cos (2 x y) d \sigma=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设 $L$ 是以 $A(-1,0), B(-3,2)$ 及 $C(3,0)$ 为顶点的三角形域的围界沿 $A B C A$ 方向, 则 $\oint_L(3 x-y) d x+(x-2 y) d y=$.
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 20
设点 $O, A, B$ 的坐标分别为 $(0,0),(1,0),(0,1)$, 点 $C$ 为区域 $D=\{(x, y) \mid 0 < x < 1, y>0\}$ 内一点, 则下列区域中, 四边形 $A O B C$ 的形心不可能在其中出现的是
$\text{A.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{B.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 1 < y < 2\right\}$.
$\text{C.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{D.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2}{3} < x < 1\right.,0 < y < 1\right\}$.
椭圆抛物面 $z=x^2+\frac{1}{4} y^2+3$ 到平面 $2 x-y+z=0$ 最近的点是?
$\text{A.}$ $(-1,2,5)$
$\text{B.}$ $(1,2,5)$
$\text{C.}$ $(1,-2,5)$
$\text{D.}$ $(-1,2,-5)$
函数 $z=x e^{2 y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从 $P(1,0)$ 到 $Q(2,-1)$ 的方向导数是?
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线, 该曲线 (对应于 $0 \leqslant x \leqslant p$ 的部分) 与切线及 $y$ 轨所闹成平面图形的面积为 $S_1$, 与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成平面图形的面积为 $S_2$, 则 $\lim _{p-0} \frac{S_2}{S_1+S_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ 1
设 $\vec{T}^{\circ}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是简单封闭曲线 $L$ 上点 $(x, y)$ 处指向逆时钟方向的单位切向量,则该点处指向曲线外侧的单位法向量 $\vec{n}^{\circ}=$
$\text{A.}$ $(-\cos \alpha,-\cos \beta)$
$\text{B.}$ $(\cos \beta, \cos \alpha)$
$\text{C.}$ $(\cos \beta,-\cos \alpha)$
$\text{D.}$ $(-\cos \beta, \cos \alpha)$
向量场 $\vec{u}(x, y, z)=x y^2 \vec{i}+y e^z \vec{j}+x \vec{k}$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的旋度为
$\text{A.}$ $(1,1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,-1,-2)$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $-2$
下列正向闭曲线中, 使曲线积分 $\oint_I \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=0$ 的曲线是
$\text{A.}$ $L: x^2+y^2=1$
$\text{B.}$ $L: x^2+x y+y^2=1$
$\text{C.}$ $L:(x-1)^2+(y-1)^2=1$
$\text{D.}$ $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$
二、填空题 (共 10 题, 每小题 5 分,共 20 分, 请把答案直接填写在答题纸上)
设曲线 $L: x^2+y^2=16$ , 取逆时针方向,则
$$
\oint_L \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=
$$
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
设 $L: y=\frac{x^2}{2}(0 \leq x \leq 1)$ ,则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} s$ 值为
设曲线 $C: x^2+y^2-2 x+4 y+1=0$ ,则曲线积分 $\int_C(x+y) \mathrm{d} s=$
在力场 $\vec{F}=(-y, x)$ 的作用下,质点在以 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形上沿顺时针方向运动一周,则在该过程中力场对质点所做的功是
曲线积分 $\oint_L\left(x-\frac{y}{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x+\left(y+\frac{x}{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y=$ $\qquad$其中 $L: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 为逆时针方向.
已知曲面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ ,则 $\oint_{\Sigma}(x+z)^2 \mathrm{~d} S$的值为
计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
计算 $\iiint_{\Omega}(x+y+z) d x d y d z$, 其中 $\Omega:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 1$ 。
设 $\mathrm{L}:$ 点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的直线段.则 $\int_L x^2 d s=$
三、解答题 ( 共 6 题,满分 80 分,解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数,且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=1$.假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ,恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
试求 $f(x)$ 的表达式.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \text {, }
$$
曲面,它的法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$.
设过点 $(-1, c, c)$ 的直线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}c x+y+z=c \text {, } \\ x-c y+c z=-1,\end{array}\right.$ 其中 $c$ 为实数。
(1)求直线 $L$ 的对称式方程;
(2)当 $c$ 连续变化时, $L$ 随之移动而生成曲面 $\Sigma$, 求曲面 $\Sigma$ 与平面 $z=t$ 的交线的方程, 其中 $t$ 为常数;
(3)求由曲面 $\Sigma$, 平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所围立体的体积。
求 $\int_{\mathrm{L}}(2 x \sin y+y) d x+\left(x^2 \cos y+2 x\right) d y$, 其中 $L: x^2+y^2=2 a x(a>0)$从 $(0,0)$ 到 $(2 a, 0)$ 的上半圆周。
设 $\sum$ : 平面 $x+3 y+z=1$ 位于第一卦限部分. 试求曲面积分 $\iint_{\Sigma} x d S$
设 $\sum$ 是 $z=x^2+y^2$ 位于平面 $z=4, z=9$ 之间部分且取下侧, 求 $\iint_{\Sigma} z d x d y$