一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $0 < x \leqslant \frac{\pi}{4}$ 时,下列不等式成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t>x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t < x$.
$\text{B.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t < x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t>x$.
$\text{C.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t>x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t>x$.
$\text{D.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t < x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t < x$.
下列反常积分中, 收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3(x+1)^3}} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^3+x^2}} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} \mathrm{~d} x$.
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
$f(x)=e^{x^{2022}} \sin x$ ，求 $f^{(2022)}(0)$
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
$\int_0^7 \sqrt{\frac{x}{2-x}} \mathrm{~d} x=$
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
求不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^4}} \mathrm{~d} x$;
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x,\end{array}\right.$ 求 $\int_2^4 f(x-2) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$;
问反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos ^3 x}{\left(x+2 \mathrm{e}^{-3 x}\right) \sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x$ 是否收敛? 请说明理由;
微分方程 $3 x \mathrm{~d} y=y\left(1+2 x y^3 \ln x\right) \mathrm{d} x$ 满足条件 $y(1)=\sqrt[3]{2}$ 的解为 $y=$
三、解答题 （ 共 21 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算不定积分 $\int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} \mathrm{~d} x$ (其中根号 $\sqrt{ }$ 有 $n$ 重)。
求不定积分:$\int \frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x $
求不定积分 $\int \sqrt{e^{2 x}+4 e^x-1} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{2 x^2-2 x+5}}$
求不定积分: $\int x^3(\ln x)^4 \mathrm{~d} x$.
求不定积分: $\int \frac{1}{\left(x^2+x+1\right)^2} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int\left(\frac{\arctan x}{x-\arctan x}\right)^2 \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{1+x^4}{1-x^4} \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \mathrm{~d} x$
求$\int \frac{x^x(\cot x+\ln x \cdot \ln \sin x)}{e^x} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int e^{x \sin +\cos x}\left(\frac{x^4 \cos ^3 x-x \sin x+\cos x}{x^2 \cos ^2 x}\right) \mathrm{d} x$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{(2+\cos x) \sin x}$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x}$
求不定积分: $\int \frac{x^5-3 x^3+6 x+9}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{x^2}{(x-1)^3(x+1)} \mathrm{d} x$.
求不定积分 $\int \frac{x \mathrm{~d} x}{(x-1)^2(x+1)^3}$
求不定积分 $\int \frac{x^2+2}{\left(x^2+x+1\right)^2} \mathrm{~d} x$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 且$F(x)=\int_a^x(x-t) f(t) d t \quad x \in[a, b]$, 试求出 $F^{\prime \prime}(x)$ 。
求 $\int x \frac{\cos x}{\sin ^3 x} d x$.
计算 $\int_2^2 \frac{d x}{x \sqrt{x^2-1}}$
证明方程 $\sin x+x+1=0$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根.