一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\eta_1$ 与 $\eta_2$ 为非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 为对应产论线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $t_1, t_2$ 为任意常数, 则 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\xi_1+\xi_2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\xi_2-\xi_1\right)$;
$\text{C.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\eta_1+\eta_2\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\eta_1-\eta_2\right)$.
设 $a_1=\left[\begin{array}{lll}1, & 0, & 1\end{array}\right]^T, a_2=\left[\begin{array}{lll}0, & 1, & 1\end{array}\right]^T$ 为 $A x=0$ 的两个解向量, 其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b\end{array}\right]$,
则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$;
$\text{B.}$ $a=1, \quad b=-1$;
$\text{C.}$ $a=1, \quad b=1$;
$\text{D.}$ $a=-1, \quad b=1$.
齐次方程组 $A x=0$ 仅有零解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的
$\text{A.}$ 行向量组线性无关;
$\text{B.}$ 列向量组线性无关;
$\text{C.}$ 行向量组线性相关;
$\text{D.}$ 列向量组线性相关.
齐次方程组 $A x=0$ 有非零解的充要条件是
$\text{A.}$ $A$ 的任意两个列向量线性相关;
$\text{B.}$ $A$ 的任意两个列向量线性无关;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意一列向量都是其余列向量的线性组合.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2$ 分别是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量,则
$\text{A.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{B.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
$\text{C.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时, $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{D.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
设 $\mathrm{a}=2$ 是可逆矩阵 $\mathrm{A}$ 的一个特征值, 则 $A^{-1}$ 有一个特征值等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$;
零为方阵 $\mathrm{A}$ 的特征值是 $\mathrm{A}$ 不可逆的
$\text{A.}$ 充分条件;
$\text{B.}$ 充要条件;
$\text{C.}$ 必要条件;
$\text{D.}$ 无关条件;
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
行列式 $\left|\begin{array}{lll}1+a_1 b_1 & 1+a_1 b_2 & 1+a_1 b_3 \\ 1+a_2 b_1 & 1+a_2 b_2 & 1+a_2 b_3 \\ 1+a_3 b_1 & 1+a_3 b_2 & 1+a_3 b_3\end{array}\right|=$
设 $A B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right)$ 则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
$f(x)=\left|\begin{array}{ll}e^x & 2^x \\ 1 & 2\end{array}\right|$, 则 $f^{\prime}(0)=$
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解, 则 $a=$
$n$ 元齐次线性方程组 $A$, $X=0$ 仅有零解的充分必要条件是
设四元方程组 $A X=B$ 的 3 个解是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 。其中 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2+\alpha_3=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 如 $R(A)=3$,则方程组 $A X=B$ 的通解是
已知四阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,1,1,2$, 则 $|A-\lambda E|=$
设 0 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right)$ 的特征值, 则 $a=$
已知三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$, 则 $B=3 A^2-2 A$ 的特征值为 ________ ;
$=$ $\qquad$ ; $A$ 的对角元之和为
$A$ 是 $n$ 阶方阵, $|A|=d$, 则 $A A^*$ 的特征值是
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\left|\begin{array}{llll}a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{lllll}1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
证明: $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a+b & a b & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a+b & a b \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a+b\end{array}\right|=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}, & a \neq b \\ (n+1) a^n, & a=b\end{array}\right.$.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^*$, 证明 $R\left(A^*\right)=\left\{\begin{array}{l}n, R(A)=n \\ 1, R(A)=n-1 \\ 0, R(A) < n-1\end{array}\right.$.
证明：设 $n$ 阶矩阵满足关系式 $A^3+A^2-A-E=O$ 且 $|A-E| \neq 0$, 证明 $A$ 可逆, 且 $A^{-1}=-(A+2 E)$.
设有线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=3 \\ x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda\end{array}\right.$,
问 $\lambda$ 取何值时, 此方程组 (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解.
求方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+5 x_2-x_3-x_4=0 \\ x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=0 \\ 3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=0\end{array}\right.$ 的基础解系, 并写出其通解.
解线性方程组
1. $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-3 x_3-x_4+x_5=0 \\ 3 x_1-x_2+x_3+4 x_4+3 x_5=0 \\ x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4+x_5=0\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}x_1-2 x_2+2 x_3-x_4=1 \\ 2 x_1-4 x_2+8 x_3=2 \\ -2 x_1+4 x_2-2 x_3+3 x_4=3 \\ 3 x_1-6 x_2-6 x_4=4\end{array}\right.$
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$, 讨论 $\lambda$ 取何值时, (1) 有唯一解; （2）无解; (3)有无窈多解? 并在有无穷多解时, 求出它的所有解.
求一通解为 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 9 \\ 9 \\ 8\end{array}\right),\left(c_1, c_2 \in R\right)$ 的非齐次线性方程组.