一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,2), Y \sim N(-1,1)$,记 $p_1=P\{2 X>Y\} ， p_2=P\{X-2 Y>1\}$ ，则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $p_1 < p_2 < \frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $p_2 < p_1 < \frac{1}{2}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，令 $\boldsymbol{Z}=|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}|$ ，则下列随机变量与 $\boldsymbol{Z}$ 同分布的是（）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$
$\text{B.}$ $\frac{X+Y}{2}$
$\text{C.}$ $2 X$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}$
当 $x \rightarrow x_0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 都是无穷小, 则当 $x \rightarrow x_0$ 时 ( ) 不一定是无穷小。
$\text{A.}$ $|\alpha(x)|+|\beta(x)|$
$\text{B.}$ $\alpha^2(x)+\beta^2(x)$
$\text{C.}$ $\ln [1+\alpha(x) \cdot \beta(x)]$
$\text{D.}$ $\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
极限 $\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ 的值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{\cot a}$
$\text{D.}$ $e^{\tan a}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x+e^{2 a x}-1}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ e
$\text{D.}$ -1
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导, 那么 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-2 h)}{h}=$
$\text{A.}$ $3 f^{\prime}(a)$
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(a)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} f^{\prime}(a)$
二、填空题 （共 18 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
某产品的价格函数为 $p=\left\{\begin{array}{ll}25-0.25 Q, & Q \leq 20, \\ 35-0.75 Q, & Q>20\end{array}\right.$ ( $p$ 为单价，单位: 万元； $Q$ 为产量，单位：件），总成本函数为
$$
C=150+5 Q+0.25 Q^2 \text { (万元) }
$$
则经营该产品可获得的最大利润为 $\qquad$ (万元 ).
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵. 若 $r(2 E-A)=1, r(E+A)=2$ ，则 $\left|A^*\right|=$
设随机试验每次成功的概率为 $p$ ，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下， 3 次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$ ，则 $p=$
已知 $f(x)=e^{x^2}, f[\varphi(x)]=1-x$, 且 ${\varphi}(x) \geq 0$, 则 $\varphi(x)=$
已知 $a$ 为常数, $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+2}{x}-a x+1\right)=1$, 则 $a=$
已知 $f^{\prime}(1)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow} \frac{f(1+3 x)-f(1+x)}{x}=$
设向量 $\mathrm{a}=(2,0,-2), \mathrm{b}=(3,-4,0)$, 则 $\mathrm{a} \times \mathrm{b}=$
设 $\mathrm{u}=x^2+x y^2+y^3$. 则 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=$
椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=15$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切平面方程为
设 $\mathrm{D}: \mathrm{y}=\mathrm{x}, \mathrm{y}=-\mathrm{x}, \mathrm{x}=2$ 直线所围平面区域.则 $\iint_D(y+2) d \sigma=$
设 $\mathrm{L}:$ 点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的直线段.则 $\int_L x^2 d s=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+a)-\ln a}{x} \quad(a>0)$ 的值是
由 $e^{x y}+y \ln x=\cos 2 x$ 确定函数 $y(x)$, 则导函数 $y^{\prime}=$
直线 $l$ 过点 $M(1,2,3)$ 且与两平面 $x+2 y-z=0,2 x-3 y+5 z=6$ 都平行, 则直线 $l$ 的方程为
求函数 $y=2 x-\ln (4 x)^2$ 的单调递增区间为
三、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $I=\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+\mathrm{e}^x-y \ln \left(1+z^2\right)=0$确定，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}$.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x \mathrm{e}^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最大值.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$.
(1) 证明: 方程组 $A x=\alpha$ 的解均为方程组 $B x=\beta$ 的解;
(2) 若方程组 $A x=\alpha$ 与方程组 $B x=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
已知总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布， $\theta \in(0,+\infty)$为未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记
$$
X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, T_c=c X_{(n)}
$$
(1) 求 $c$ ，使得 $E\left(T_c\right)=\theta$ ；
(2) 记 $h(c)=E\left(T_c-\theta\right)^2$ ，求 $c$ ，使得 $h(c)$ 最小.
设 $z=x^2 y+\ln (x+y)+\tan 2$, 求 $\mathrm{d} z$
设 $u=f(4 x y, 2 x-3 y)$, 其中 $f$ 一阶偏导连续, 求 $\frac{\partial u}{\partial y}$
设 $z=z(x, y)$ 由 $x^2+y^2+z^2-x y z=100$ 确定.求 $\frac{\partial z}{\partial y}$
求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值
求二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 D: $1 \leq x^2+y^2 \leq 9$
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x y z^2 d V, \Omega$ : 平面 $\mathrm{x}=0, \mathrm{x}=3, \mathrm{y}=0, \mathrm{y}=2, \mathrm{z}=0, \mathrm{z}=1$ 所围区域
求 $\int_L y d x-x d y, \mathrm{~L}$ : 圆周 $x^2+y^2=9$, 逆时针
设 $\sum$ : 平面 $x+3 y+z=1$ 位于第一卦限部分. 试求曲面积分 $\iint_{\Sigma} x d S$
设 $\sum$ 是 $z=x^2+y^2$ 位于平面 $z=4, z=9$ 之间部分且取下侧, 求 $\iint_{\Sigma} z d x d y$
设 $\sum$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $\mathrm{z}=1$ 所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求
$$
\iint_{\Sigma} 3 x d y d z-2 y z d z d x+z^2 d x d y
$$