一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(\pi,-2)$
$\text{C.}$ $(0,2)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$
下列反常积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} x e^{-x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} x e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{-x}+e^x$ ，则 $a, b, c$ 依次为
$\text{A.}$ ${1 , 0 , 1}$
$\text{B.}$ $1,0,2$
$\text{C.}$ $2,1,3$
$\text{D.}$ $2,1,4$
已知积分区域 $D=\left\{(x, y)|| x|+| y \left\lvert\, \leq \frac{\pi}{2}\right.\right\}$ ，
$$
\begin{gathered}
I_1=\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
I_2=\iint_D \sin \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
I_3=\iint_D\left(1-\cos \sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{gathered}
$$
比较 $I_1, I_2, I_3$ 的大小
$\text{A.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{D.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
已知 $f(x), g(x)$ 二阶可导且在 $x=a$ 处连续，则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0$ 是两条曲线 $y=f(x), y=g(x)$ 在 $x=a$ 对应的点相切且曲率相等的
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 充分必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设 $\boldsymbol{A}$ 为四阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵，若
$A^2+A=2 E ， \text { 且 }|A|=4 ，$ 则二次型 $x^T \boldsymbol{A x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+2^x\right)^{\frac{2}{x}}=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{3 \pi}{2}$ 对应点处切线在 $y$ 轴上的截距为
设函数 $f(u)$ 可导， $z=y f\left(\frac{y^2}{x}\right)$ ，则
$$
2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=
$$
设函数 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
已知 $f(x)=x \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 4\end{array}\right) ， A_{i j}$ 表示 $|A|$ 中 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{11}-A_{12}=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值.
求不定积分 $\int \frac{3 x+6}{(x-1)^2\left(x^2+x+1\right)} \mathrm{d} x$.
已知 $y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$ ，且有 $y(1)=\sqrt{e}$
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) 设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq y(x)\}$ ，求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体体积.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \| x \mid \leq y,\left(x^2+y^2\right)^3 \leq y^4\right\}$ ，求 $\iint_D \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设 $n$ 是正整数，记 $S_n$ 是 $y=e^{-x} \sin x(0 \leq x \leq n \pi)$ 的图形与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_n$ ，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$.
已知函数 $u(x, y)$ 满足
$$
2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=0 ，
$$
求 $a, b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)=v(x, y) e^{a x+b y}$ 下，上述等式可以化为 $v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
(2) 存在 $\boldsymbol{\eta} \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ 。
已知向量组
(I) $\alpha_1=(1,1,4)^T, \alpha_2=(1,0,4)^T, \alpha_3=\left(1,2, a^2+3\right)^T$,
(II) $\beta_1=(1,1, a+3)^T, \beta_2=(0,2,1-a)^T, \beta_3=\left(1,3, a^2+3\right)^T$,
若向量组(I)和向量组(II) 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似.
(1)求 $x, y$ ；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$.