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试卷ttt

数学

一、单选题（共 38 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 1

的图形在点

(0, 1)

处的切线与

x

轴交点的坐标是

A.

(- \frac{1}{6}, 0)

B.

(- 1, 0)

C.

(\frac{1}{6}, 0)

D.

(1, 0)

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2. 若

- 3 a^{2} - 5 b < 0

，则方程

x^{5} + 2 a x^{3} + 3 b x + 4 c = 0

A.

无实根

B.

有唯一实根

C.

有三个不同实根

D.

有五个不同实根

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3. 若

y = x^{2} + a x + b

和

2 y = - 1 + x y^{3}

在

(1, - 1)

点相切，其中

a, b

是常数，则

A.

a = 0, b = - 2

B.

a = 1, b = - 3

C.

a = - 3, b = 1

D.

a = - 1, b = - 1

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4. 如图，

x

轴上有一线密度为常数

μ

，长度为

l

的细杆，若质量为

m

的质点到杆右端的距离为

a

，已知引力系数为

k

，则质点和细杆之间引力的大小为

A.

\int_{- l}^{0} \frac{k m μ d x}{(a - x)^{2}}

B.

\int_{0}^{l} \frac{k m μ d x}{(a - x)^{2}}

C.

2 \int_{- \frac{l}{2}}^{0} \frac{k m μ d x}{(a + x)^{2}}

D.

2 \int_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{k m μ d x}{(a + x)^{2}}

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5. 设函数

z = f (x, y)

的全微分为

d z = x d x + y d y

，则点

(0, 0)

A.

不是

f (x, y)

的连续点

B.

不是

f (x, y)

的极值点

C.

是

f (x, y)

的极大值点

D.

是

f (x, y)

的极小值点

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6. 使不等式

\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} d t > \ln x

成立的

x

的范围是

A.

(0, 1)

B.

(1, \frac{π}{2})

C.

(\frac{π}{2}, π)

D.

(π, + \infty)

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7. 曲线

y = x^{2}

与曲线

y = a \ln x (a \neq 0)

相切, 则

A.

4 e

B.

3 e

C.

2 e

D.

e

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8. 设函数

f (x), g (x)

具有二阶导数，且

g^{''} (x) < 0

，若

g (x_{0}) = a

是

g (x)

的极值，则

f (g (x))

在

x_{0}

取极大值的一个充分条件是

A.

f^{'} (a) < 0

B.

f^{'} (a) > 0

C.

f

^{''} (a) < 0

D.

f^{''} (a) > 0

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9. 设函数

f (x)

具有二阶连续导数，且

f (x) > 0 ， f^{'} (0) = 0

，则函数

z = f (x) \ln f (y)

在点

(0, 0)

处取得极小值的一个充分条件是

A.

f (0) > 1, f^{''} (0) > 0

B.

f (0) > 1, f^{''} (0) < 0

C.

f (0) < 1, f^{''} (0) > 0

D.

f (0) < 1, f^{''} (0) < 0

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10. 设函数

f (x), g (x)

均有二阶连续导数，满足

f (0) > 0, g (0) < 0

且

f^{'} (0) = g^{'} (0) = 0

，则函数

z = f (x) g (y)

在点

(0, 0)

处取得极小值的一个充分条件是

A.

f^{''} (0) < 0, g^{''} (0) > 0

B.

f^{''} (0) < 0, g^{''} (0) < 0

C.

f^{''} (0) > 0, g^{''} (0) > 0

D.

f^{''} (0) > 0, g^{''} (0) < 0

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11. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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12. 已知

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f (0) = 0

，则

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} f (x) - 2 f (x^{3})}{x^{3}} =

A.

- 2 f^{'} (0)

B.

- f^{'} (0)

C.

f^{'} (0)

D.

0

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13. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \sin x d x ， J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cot x d x

，

K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln \cos x d x

，则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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14. 设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

A.

(- 1)^{n - 1} (n - 1)

!

B.

(- 1)^{n} (n - 1)

!

C.

(- 1)^{n - 1} n

!

D.

(- 1)^{n} n

!

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15. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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16. 设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

A.

(- 1)^{n - 1} (n - 1)

!

B.

(- 1)^{n} (n - 1)

!

C.

(- 1)^{n - 1} n

!

D.

(- 1)^{n} n

!

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17. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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18. 设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

A.

(- 1)^{n - 1} (n - 1)

!

B.

(- 1)^{n} (n - 1)

!

C.

(- 1)^{n - 1} n

!

D.

(- 1)^{n} n

!

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19. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{(x - 1)^{α - 1}}, 1 < x < e \\ \frac{1}{x \ln^{α + 1} x}, x \geq e \end{cases}

, 若反常积分

\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x

收敛，则

A.

α < - 2

B.

α > 2

C.

- 2 < α < 0

D.

0 < α < 2

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20. 设函数

f (x)

具有二阶导数，

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

，则在

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

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21. 若函数

\int_{- π}^{π} {(x - a_{1} \cos x - b_{1} \sin x)}^{2} d x

= min_{a, b \in R} {\int_{- π}^{π} (x - a \cos x - b \sin x)^{2} d x},

则

a_{1} \cos x + b_{1} \sin x =

A.

2 \sin x

B.

2 \cos x

C.

2 π \sin x

D.

2 π \cos x

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22. 设函数

f (x)

具有二阶导数，

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

，则在

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

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23. 曲线

{\begin{cases} x = t^{2} + 7 \\ y = t^{2} + 4 t + 1 \end{cases}

上对应于

t = 1

的点处的曲率半径是

A.

\frac{\sqrt{10}}{50}

B.

\frac{\sqrt{10}}{100}

C.

10 \sqrt{10}

D.

5 \sqrt{10}

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24. 设函数

f (u, v)

满足

f (x + y, \frac{y}{x}) = x^{2} - y^{2}

，则

{\frac{\partial f}{\partial u} |}_{\begin{matrix} u = 1 \\ v = 1 \end{matrix}}

与

{\frac{\partial f}{\partial v} |}_{\begin{matrix} u = 1 \\ v = 1 \end{matrix}}

依次是

A.

\frac{1}{2}, 0

B.

0, \frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{2}, 0

D.

0, - \frac{1}{2}

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25. 若反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{a} (1 + x)^{b}} d x

收敛，则

A.

a < 1

且

b > 1

B.

a > 1

且

b > 1

C.

a < 1

且

a + b > 1

D.

a > 1

且

a + b > 1

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26. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} 2 (x - 1), x < 1, \\ \ln x, x \geq 1, \end{matrix}

则

f (x)

的一个原函数为

A.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x - 1), x \geq 1 \end{cases}

B.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x + 1) - 1, x \geq 1 \end{cases}

C.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1 \\ x (\ln x + 1) + 1, x \geq 1 \end{cases}

D.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x - 1) + 1, x \geq 1 \end{cases}

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27. 已知函数

f (x) = {\begin{array}{cc} 2 (x - 1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geq 1, \end{array}

则

f (x)

的一个原函数为

A.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1 \\ x (\ln x - 1), x \geq 1 \end{cases}

B.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x + 1) - 1, x \geq 1 \end{cases}

C.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x + 1) + 1, x \geq 1 \end{cases}

D.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, x < 1, \\ x (\ln x - 1) + 1, x \geq 1 \end{cases}

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28. 反常积分(1)

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x

, (2)

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x

的敛散性为

A.

(1)收敛(2)收敛

B.

(1)收敛(2)发散

C.

(1)收敛(2)收敛

D.

(1)发散(2)发散

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29. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，其导函数的图形如图所示, 则

A.

函数

f (x)

有 2 个极值点，曲线

y = f (x)

有 2 个拐点

B.

函数

f (x)

有 2 个极值点，曲线

y = f (x)

有 3 个拐点

C.

函数

f (x)

有 3 个极值点，曲线

y = f (x)

有 1 个拐点

D.

函数

f (x)

有 3 个极值点，曲线

y = f (x)

有 2 个拐点

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30. 设函数

f_{i} (x) (i = 1, 2)

具有二阶连续导数，且

f_{i}^{''} (x_{0}) < 0 (i = 1, 2)

，若两条曲线

y = f_{i} (x) (i = 1, 2)

在点

(x_{0}, y_{0})

处具有公切线

y = g (x)

，且在该点处曲线

y = f_{1} (x)

的曲率大于曲率

y = f_{2} (x)

的曲率，则在

x_{0}

的某个邻域内，有

A.

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq g (x)

B.

f_{2} (x) \leq f_{1} (x) \leq g (x)

C.

f_{1} (x) \leq g (x) \leq f_{2} (x)

D.

f_{2} (x) \leq g (x) \leq f_{1} (x)

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31. 已知函数

f (x, y) = \frac{e^{x}}{x - y}

，则

A.

f_{x}^{'} - f_{y}^{'} = 0

B.

f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = 0

C.

f_{x}^{'} - f_{y}^{'} = f

D.

f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = f

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32. 设

J_{i} = \iint_{D_{i}} \sqrt[3]{x - y} d x d y (i = 1, 2, 3)

，其中

\begin{matrix} D_{1} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} \\ D_{2} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq \sqrt{x}}, \\ D_{3} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq 1}, \end{matrix}

则

A.

J_{1} < J_{2} < J_{3}

B.

J_{3} < J_{1} < J_{2}

C.

J_{2} < J_{3} < J_{1}

D.

J_{2} < J_{1} < J_{3}

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33. 函数

f (x, y, z) = x^{2} y + z^{2}

在点

(1, 2, 0)

处沿向量

\vec{n} = (1, 2, 2)

的方向导数为

A.

12

B.

6

C.

4

D.

2

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34. 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 (单位:m) 处.图中，实线表示甲的速度曲线

v = v_{1} (t)

（单位:

m / s

）虚线表示乙的速度曲线

v = v_{2} (t)

，三块阴影部分面积的数值依次为

10 ， 20 ， 3

，计时开始后乙追上甲的时刻记为

t_{0}

（单位:

s

），则

A.

t_{0} = 10

B.

15 < t_{0} < 20

C.

t_{0} = 25

D.

t_{0} > 25

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35. 设函数

f (x)

可导，且

f (x) f^{'} (x) > 0

，则

A.

f (1) > f (- 1)

B.

f (1) < f (- 1)

C.

| f (1) | > | f (- 1) |

D.

| f (1) | < | f (- 1) |

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36. 过点

(1, 0, 0)

与

(0, 1, 0)

且与

z = x^{2} + y^{2}

相切的平面方程为

A.

z = 0

与

x + y - z = 1

B.

z = 0

与

2 x + 2 y - z = 2

C.

y = x

与

x + y - z = 1

D.

y = x

与

2 x + 2 y - z = 2

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37. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + x)^{2}}{1 + x^{2}} d x

，

N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e^{x}} d x, K = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \sqrt{\cos x}) d x ，

则

M, N, K

的大小关系为

A.

M > N > K

B.

M > K > N

C.

K > M > N

D.

K > N > M

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38. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + x)^{2}}{1 + x^{2}} d x

,

N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e^{x}} d x, K = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \sqrt{\cos x}) d x ，

则

M, N, K

的大小关系为

A.

M > N > K

B.

M > K > N

C.

K > M > N

D.

K > N > M

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

39. 曲线

y = \int_{0}^{x} (t - 1) (t - 2) d t

在点

(0, 0)

处的切线方程是

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40. 设

f (x) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)

, 则

f^{'} (0) =

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