一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, 若 $f\left(x, x^2\right)=x^3, f_x\left(x, x^2\right)=x^2-2 x^4$, 则 $f_y\left(x, x^2\right)=$
$\text{A.}$ $x+x^3$
$\text{B.}$ $2 x^2+2 x^4 $
$\text{C.}$ $x^2+x^5$
$\text{D.}$ $2 x+2 x^2$
二、填空题 （共 16 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $z=z(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=(t+1) \cos z, \\ y=t \sin z\end{array}\right.$ 确定, $t=t(x, y)$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 有二阶连续偏导数, 且满足
$$
6 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=1,
$$
令变量 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y \\ v=x+3 y\end{array}\right.$, 那么 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=$
设 $z=\frac{1}{x} f\left(x^2 y\right)+x y g(x+y)$ ，其中 $f, g$ 具有二阶连续导数， 计算 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
已知函数 $u(x, y)$ 的全微分为 $2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$, 则 $u(x, y)=$
(求出满足条件的任何一个函数均可)
设 $z=\sqrt{\ln (x y)}$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
函数 $u=e^{y\left(x^2+y^2\right)}$, 则 $d u=$
(1) $\lim \limits _{ {x \rightarrow 0} \quad {y \rightarrow 2}} \dfrac { \sqrt {1+xy}- \sqrt {1-xy}}{x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\lim \limits _{ {x \rightarrow 0} \quad {y \rightarrow 2}}( \cos xy^{2})^{ \dfrac {1}{ \ln ^{2}(1+x)}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(1)设 $z= \ln \sqrt {x^{2}+y^{2}}$, 则 $x \dfrac { \partial z}{ \partial x}+y \dfrac { \partial z}{ \partial y}=\underline { \quad \quad \quad }$.
(2)设 $z= \arctan \dfrac {x+y}{1-xy}$, 则$ \dfrac { \partial z}{ \partial x}+ \dfrac { \partial z}{ \partial y}=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$z=xyf(x^2+y^2)$，其中$f$连续可导,则$ \frac { \partial z}{ \partial x}- \frac { \partial z}{ \partial y}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$z=f(t^2,\sin t)$,其中$f$二阶连续可偏导,则 $\frac {d^{2}z}{dt^{2}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$z=f(x+y,xy)$，其中$f$二阶连续可偏导，则$ \dfrac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$F(x+y,y+z,z+x)=0$确定$z=z(x,y)$,则 $\frac { \partial z}{ \partial x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$z=\phi (x,y)$及$y+z=\phi (x+z)$,其中$\phi$连续可导,则$ \dfrac {dz}{dx}= \underline { \quad \quad \quad }$.
已知$z=z(x,y)$满足$ \frac { \partial z}{ \partial x}- \frac { \partial z}{ \partial y}=2(x^{2}-y^{2})$, 令 $\begin{cases} u=x+y\\ y=x-y\end{cases} $则$z$关于$u$，$v$满足的等式为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
设$z=f(x,y)$满足:$ \dfrac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}=2x$,$f{x}'(x,0)=2 \cos x$,$f(0,y)=e^{y}+1$ 则$f(x,y)= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $z=2x^2-y^2+2$ 在区域 $D:x^2+4y^2≤4$.上的最小值和最大值为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right), f$ 其有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $F(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, $z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 所确 定的隐函数, 试求表达式 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。
设 $z=f(t^2,e^{2t})$, 其中$f$二阶连续可偏导，求 $\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}$.
设$z=f(e^x\sin y,xy)$，其中$f$二阶连续可偏导，求 $\dfrac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}$.
设$u=f(x^2,xy,xy^2z)$,其中$f$连续可偏导,求 $\dfrac { \partial u}{ \partial x}$, $\dfrac { \partial u}{ \partial y}$, $\dfrac { \partial u}{ \partial z}$.
设$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微,$ f(1,1)=1$,$f_1'(1,1)=a$，$f_2'(1,1)=b$, 又$u=f[x,f(x,x)]$,求$\dfrac {du}{dx} |_{x=1}$.
设$z= \int_ {x+y}^{xy}e^{-t^{2}}dt$, 求 $\dfrac { \partial ^{2}z}{ \partial x \partial y}$.
设$y=y(x)$,$z=z(x)$由 $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=2z \\ x+y-z+1=0 \end{cases}$ 确定，求 $\dfrac {dz}{dx}$.
设$z=z(x,y)$是由 $F(x+ \dfrac {z}{y},y+ \dfrac {z}{x})=0 $所确定的二元函数，其中$F$连续可偏导，求$x \dfrac { \partial z}{ \partial x}+y \dfrac { \partial z}{ \partial y}$.
求二元函数$z=f( x,y)=x^3-3x^2-9x+y^2-2y+2$ 的极值.
求二元函数$z=f( x,y)=x^3-3x^2-9x+y^2-2y+2$ 的极值.
设$z=f(x,y)$满足:$dz=2xdx-4ydy$且$f(0,0)=5$.
(1)求$f(x,y)$;
(2)求$f(x,y)$在区域$D=\left\{(x,y)|x^2+4y^2≤4\right\}$ 上的最小值和最大值.
设$z=z(x,y)$满足 $\dfrac { \partial z}{ \partial x}- \dfrac { \partial z}{ \partial y}=(x+y)z$, 令$w=\ln z+x+y$,将等式化为$w$关于$x$,$y$的方程.