一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数 $z=\ln (1-x y)$ 在点 $(0,1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z=$
$\text{A.}$ $dx$
$\text{B.}$ $-dx$,
$\text{C.}$ $dy$
$\text{D.}$ $-dy$
函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^3-3 x y z=1$ 确定, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$.
$\text{A.}$ $\frac{y z}{z^2-x y}$
$\text{B.}$ $\frac{-y z}{z^2-x y}$
$\text{C.}$ $\frac{z^2-x y}{y z}$
$\text{D.}$ $\frac{z^2-x y}{-y z}$
设 $z=\sin \left(x+y^2\right)$ ，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=$.
$\text{A.}$ $-\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{B.}$ $-\cos \left(x+y^2\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(x+y^2\right)$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 连续
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
设函数 $f(x, y)=x|x|+|y|$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0) ， f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0) ， f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
函数 $z=5 x^2 y$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\vec{l}=(3,-4)$ 的方向导数 $\frac{\partial z}{\partial l}=$
已知 $\mathrm{d} u(x, y)=\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{3 x^2-2 x y+3 y^2}$ ，则 $u(x, y)=$
二元函数 $f(x, y)=3 x y-x^3-y^3+3$ 的所有极值的和等于
设函数 $f(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，
$$
f(1,1)=1, f_x^{\prime}(1,1)=a \text { 且 } f_y^{\prime}(1,1)=b ，
$$
则函数 $u(x)=f(x, f(x, x))$ 的微分为
曲线 $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-1}$ 有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1 \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ ________
已知 $x=a(t-\sin t) ; y=a(1-\cos t)$; $\frac{d y}{d x}=$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x+y=\arctan (x-y)$ 所确定的隐函数, 求导数 $\frac{d y}{d x}$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=f\left(x-y, x^2 y\right), f$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
若二元函数 $f(u, v)$ 对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足 $u \frac{\partial f}{\partial u}+v \frac{\partial f}{\partial v}=4 f(u, v)$, 并且 满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=u^2+v^2$ 。
(1) 求证: $\left\{\begin{array}{l}u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=12 f(u, v) \\ v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=\left(u^2+v^2\right)^2-12 f(u, v)\end{array}\right.$
(2) 记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{\lambda x} \cos y, \mathrm{e}^{\lambda x} \sin y\right)$, 其中 $\lambda$ 是一个常数, 求解 $\operatorname{div}(\operatorname{grad} g)$ 。
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$;
证明: (1) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 存在;
(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微.
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, $f(0)=g(0)=1$, 且对 $x O y$ 平面上的任一简单闭曲线 $C$, 曲线积分
$$
\oint_C\left[y^2 f(x)+2 y \mathrm{e}^x-8 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y=0,
$$
求函数 $f(x), g(x)$.
设函数 $z=f\left(x, 2 x-y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二 阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$. 讨 论 $f$ 在原点的连续性，偏导数的存在性以及 $f$ 在原点的可微性.
证明: 方程 $x+\frac{1}{2} y^2+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ 在 $(0,0,0)$ 附近唯一确定隐函数 $z=f(x, y)$ ，并将 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处展开 为二阶带有皮亚诺余项的泰勒公式.
计算 $f(x, y)=5 x^2+5 y^2-8 x y$ 在条件 $x^2+y^2-x y=75$ 下的最小值.
设 $u=f(z)$ ，其中 $z$ 为方程式 $z=x+y \varphi(z)$ 所定义的关于变 量 $x$ 和 $y$ 的隐函数. 试证:
$$
\frac{\partial^n u}{\partial y^n}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left\{[\varphi(z)]^n \frac{\partial u}{\partial x}\right\},\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right) .
$$
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶连续导数. 二元函数 $F(x, y)=x^2 f\left(\frac{y}{x}\right)+f(x y)$, 且满 足 $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-\frac{y^2}{x^2} \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{2 y}{x} \ln \frac{y}{x}$. 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设 $f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ ，求 $f^{(2019)}(0)$.
已知 $y=\left(1+x^2\right) \arctan x$, 求 $y^{\prime \prime}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=f(x, t) \\ t=F(x, y)\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ ( 假定隐函数定理条件满 足)
设 $z=u(x, y) e^{a x+b y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$, 试确定 $a, b$ 使 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在条件 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=1\left(a_i>0, i=1,2,3\right)$ 下的最小值。
设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数二阶可导, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 有界,证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。