一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u)$ 可导, 若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y(\ln y-\ln x)$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数存在, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=4$, 且 $f(x, 0)=2, f_y^{\prime}(x, 0)=x^2$, 则 $f(x, y)=$
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 的某邻域内可微, 且 $f(x, y+2)=2+3 x+4 y+o(\rho)$, 其中 $\rho=$ $\sqrt{x^2+y^2}$, 则曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 处的全微分为
设可微函数 $z=z(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=2 z^2$, 又设 $u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$,
$w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$, 则对函数 $w=w(u, v)$, 偏导数 $\left.\frac{\partial w}{\partial u}\right|_{\substack{u=2 \\ v=1}}=$
设 $a>0$, 则均匀曲面 $x^2+y^2+z^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 的重心坐标为
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 且 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y}=$
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 且 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数,则 $\frac{\partial z^2}{\partial x \partial y}=$
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime}(x)=f(1-x), f(0)=1$ 则 $f(x)=$
已知函数 $f(x, y)=4+a x+a y$ 在区域 $x^2+y^2 \leqslant 1$ 上的最小值与最大值之积为 $\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$,则 $a=$
若 $z(x, y)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{x^2+x y+y^2}} \mathrm{~d} u$, 则 $\frac{x}{z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{y}{z} \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $\varphi(u)$ 为连续函数, 且 $\int_{y-x}^{x-y} \varphi(t-x-y) \mathrm{d} t=x^2+y^2+z$, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
已知方程 $3 x^4-8 x^3-6 x^2+24 x+a=0$ 有四个不相同的实根, 则 $a$ 的取值范围为
设 $x \geq 0, y \geq 0$, 满足 $x^2+y^2 \leq k e^{x+y}$, 则 $k$ 的取值范围是
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(1)=1, g(x)$ 为其反函数, $g^{\prime}(1)=g^{\prime \prime}(1)=a \neq 0$, 则 $\left.\left[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \int_0^{f(x)} \operatorname{tg}(t) \mathrm{d} t\right]\right|_{x=1}=$
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长为
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=(1+x y)^2 \ln (1+x y)$, 求 $z_x^{\prime}$ 。
求函数 $u=x^3+2 y^2-3 x-12 y$ 的极值。
设 $x=e^{u+v}, y=e^{u-v}$, 试将方程 $x^2 z_{x x}^{\prime \prime}+y^2 z_{y y}^{\prime \prime}+x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=0$ 从化为关于自变量 $u, v$ 的方程 (假设 $z=z(x, y)$ 有连续的二阶偏导数)。
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_0^x \frac{t^{2023}}{1+t^2} \mathrm{~d} t$, 正整数 $n \leq 2023$, 求导数 $f^{(n)}(0)$.
已知 $z=f\left(x^2, x+y+z\right)$, 其中 $f$ 连续可偏导, 且 $\mathrm{e}^{y+z}=x^2+z$, 求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
设 $ {u=f(x, y, z)}, z=z(x, y)$ 是由方程 ${\varphi(x+y, z)=1}$所确定的隐函数, 求 $\frac{\partial u}{\partial x}, d u, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$. 其中 $f$ 和 $\varphi$ 有二阶连续偏导数且 $\varphi_2 \neq 0$.
设函数 $z=z(x, y)$ 的微分 $d z=(2 x+12 y) d x+(12 x+4 y) d y$ 且 $z(0,0)=0$, 求函数 $z=z(x, y)$ 在 $4 x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大值
对于任意二阶连续可导的函数 $f(u), z=\int_0^y \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+f(x+a y)$ 均是方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 y \mathrm{e}^{y^2}$ 的解, 求 $a$ 的值.
设 $z=z(x, y)$ 是方程 $z^3=1+3 x y$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
证明: 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时, 有 $\frac{x^2+y^2}{4} \leqslant e^{x+y-2}$
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{t+1} \\ y=\frac{t}{(t+1)^2}\end{array}\right.$ 求 $\frac{d y}{d x}$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=e^t \cos t \\ y=e^t \sin t\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ 。
设 $f(x, y)=x^3-3 x^2 y-y^3+x^2-y$.
(1) 证明: 存在 $\delta>0$, 以及定义于 $(-\delta, \delta)$ 上的连续可微函数 $y=y(x)$, 满足 $y(0)=0$, 以及 $f(x, y(x))=0$.
(2) 证明: $x=0$ 时 (1) 中的 $y(x)$ 取到极小值.
已知函数 $f(u)$ 具有二阶导数, 且 $f^{\prime}(0)=1$, 函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x \mathrm{e}^{y-1}=1$ 所确定. 设 $z=f(\ln y-\sin x)$, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+2 t+1 \\ t-\int_1^{y+t} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u=0\end{array}\right.$ 确定, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$.