一、单选题 （共 24 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2 & x \leq 0 \\ x-2 & x>0\end{array}\right.$ 是
$\text{A.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调增加函数
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调减少函数
$\text{C.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单增 $(0,+\infty)$ 单减函数
$\text{D.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单减 $(0,+\infty)$ 单增函数
如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
(1). 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(2). 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(3). 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(4.) 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ (2)
$\text{B.}$ (1)(3)(4)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}g(x) \cos \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(0)=g^{\prime}(0)=0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续但不可导.
$\text{B.}$ 可导但 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 极限存在但不连续.
$\text{D.}$ 可微且 $\left.\mathrm{d} f(x)\right|_{x=0}=0$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内二阶连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+2 f^{\prime \prime}(x)}{x-x^2}=4$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
$\text{B.}$ $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 为 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 既不是 $f(x)$ 的极值点, 也不是 $f(x)$ 的拐点
设连续函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 且 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=12$, 若
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^4} \int_{\sin x}^x g(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ g(0), & x=0,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不连续, $x=0$ 是其第二类间断点.
$\text{B.}$ 不连续, $x=0$ 是其可去间断点.
$\text{C.}$ 连续,但不可导.
$\text{D.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)$.
设 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \leqslant 0, \\ 1, x>0,\end{array}\right.$ 则偶函数 $\varphi(x)=h(\cos \pi x-|x|)$ 有两个间断点 $x= \pm x_0\left(x_0>0\right)$, 且
$\text{A.}$ 在 $\pm x_0$ 点左连续.
$\text{B.}$ 在 $\pm x_0$ 点右连续.
$\text{C.}$ 在 $-x_0$ 点左连续, 在 $x_0$ 点右连续.
$\text{D.}$ 在 $-x_0$ 点右连续, 在 $x_0$ 点左连续.
设 $\int_0^{\tan x}\left(\mathrm{e}^{a t^2}-1\right) \mathrm{d} t \sim 2 x^3+b x(x \rightarrow 0)$, 则
$\text{A.}$ $a=6, b=0$
$\text{B.}$ $a=0, b=6$
$\text{C.}$ $a=-6, b=0$
$\text{D.}$ $a=0, b=-6$
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-4}{x^2+y^2}=-1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h, 0)-f(0,-h)}{h}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
设曲线 $L: y=f(x)$, 其中 $f(x)$ 为连续函数, $f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有一个拐点
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin (x-a)}{f^{\prime}(x)}=-1$, 则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 的邻域内单调.
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(a, b)$, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内的图像如图所示, 则函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有极小值点
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\ln \left(1+x^2\right)\right)-f(0)}{x^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{\sqrt[3]{x}}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x f\left(\frac{1}{x}\right)$ 存在.
函数 $f(x)=\frac{1}{x} \ln |1+x|$ 有
$\text{A.}$ 两个可去间断点
$\text{B.}$ 两个无穷间断点
$\text{C.}$ 一个可去间断点和一个跳跃间断点
$\text{D.}$ 一个可去间断点和一个无穷间断点
设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义, 且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$, 则下列正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $f(0)=1$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=-1$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0)=1$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(x-1) \arctan |x|^n$, 则
$\text{A.}$ $x=-1$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{B.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{C.}$ $x=-1$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\text{D.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点.
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n-x^{2-n}}{x^{n+2}+x^{-n}}, F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 仅有 2 个间断点, $F(x)$ 为连续的偶函数.
$\text{B.}$ $f(x)$ 仅有 2 个间断点, $F(x)$ 为连续的奇函数.
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 3 个间断点, $F(x)$ 有 3 个不可导点.
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个间断点, $F(x)$ 有 2 个不可导点.
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n+2}{x^n+1}$ 的间断点及类型是
$\text{A.}$ $x=1$ 是第一类间断点, $x=-1$ 是第二类间断点
$\text{B.}$ $x=1$ 是第二类间断点, $x=-1$ 是第一类间断点
$\text{C.}$ $x= \pm 1$ 均是第一类间断点
$\text{D.}$ $x= \pm 1$ 均是第二类间断点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误 的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x^3 \ln x, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ \arctan \left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{\pi}{2}, & x < 0,\end{array}\right)$
$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 无极小值点.
$\text{B.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 一个极小值点.
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个极大值点,一个极小值点.
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 两个极小值点.
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi$ 和 $x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad$ ( $k$ 是整数 $)$ 是间断点, 其中无穷间 断点是 ________
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=$
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
设 $p$ 是某正整数， $I_n=\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}$ ，试求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
已知函数 $f(x)$ 连续, 请讨论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ 的大小关系, 并计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sqrt{\sin x})-\ln (1+\sqrt{\cos x})+\sin ^3 x}{2} d x$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有连续二阶导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。
证明: (1) $\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x$
(2) $\left|\int_a^b f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$
设 $f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n^2-1}$, 求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性.
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。
试证: 当 $x \geqslant 0$ 时, $x \leqslant \mathrm{e}^x \ln (1+x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{4}}+(1-\sin x)^{\frac{1}{4}}-2}{x^2}$.
设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上定义的连续且黎曼可积函数，证明: $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin (\lambda x) \mathrm{d} x=0$.
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^5 x^2}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛.