一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
②$\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
③$\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
④$\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ ①④②③
$\text{B.}$ ②④①③
$\text{C.}$ ①④③②
$\text{D.}$ ④②①③
2. 如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
①. 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
②. 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
③. 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
④. 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ ②
$\text{B.}$ ①③④
$\text{C.}$ ②④
$\text{D.}$ ①③
设 $f(x) =|x^3- 1 |g(x)$, 其中$g(x)$连续,则$g(1)=0$是$f(x)$在$x=1$处可导的$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续, 则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 中至少有一个不存在.
$\text{C.}$ 若 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导并且右可导.
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某个邻域内有定义, 则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x \sin x}=-2$, 则在 $x=0$ 处 $f(x)$
$\text{A.}$ 不可导.
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 取极大值.
$\text{D.}$ 取极小值.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ 则在区间 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x-1), & x \geq 1\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x+1)-1, & x \geq 1\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geq 1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geq 1\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 是连续函数, 则下列结论中正确的个数是
(1)若 $f(x)$ 在任意区间 $[a, b]$ 上满足 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x) \equiv 0$.
(2)若 $f(x) \geq 0$, 并且存在区间 $[a, b]$ 使得 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x)=0(x \in[a, b])$.
(3) 若 $\left[a_1, b_1\right] \subset[a, b]$, 则 $\int_{a_1}^{b_1} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$.
(4) 设 $g(x)$ 连续. 若 $f(x)>g(x), a, b$ 为不相等的常数, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=\infty$, 则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\infty$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)-g(x)]=\infty$.
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)=\infty$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$.
设当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, \quad b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin \frac{\pi}{2} x, & x \leqslant 1, \\ 2-\sqrt{x-1}, & x>1 .\end{array}\right.$ 对 $f(x)$ 给出两个命题:①点 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极 值点; ②点 $(1,2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点. 则
$\text{A.}$ ①和 ② 都正确.
$\text{B.}$ ①正确,但② 不正确.
$\text{C.}$ ① 不正确, 但② 正确.
$\text{D.}$ ①和② 都不正确.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f(0)=2 f(1)=f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $1 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 2$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{2} < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < \frac{5}{2}$.
$\text{C.}$ $2 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 3$.
$\text{D.}$ $3 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 4$.
下列命题中不正确的是
$\text{A.}$ 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数均存在但不相等, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续。
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 。
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A, A$ 为有限值, $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在, 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)$ 不存在
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在, 但 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 存在, 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在
函数 $f(x)=|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}, x \in(-\infty,+\infty)$, 是
$\text{A.}$ 单调函数
$\text{B.}$ 周期函数
$\text{C.}$ 偶函数
$\text{D.}$ 有界函数
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in(-\infty,+\infty)\right.$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
$\text{B.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 有界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 无界
$\text{C.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 无界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 有界
$\text{D.}$ 对任意 $X>0$, 当 $|x| \leqslant X$ 时, $f(x)$ 有界, 但在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内为连续的奇函数, $a$ 为常数, 则必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x \mathrm{~d} u \int_a^u t f(t) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_a^x \mathrm{~d} u \int_0^u f(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^x \mathrm{~d} u \int_a^u f(t) \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_a^x \mathrm{~d} u \int_0^u t f(t) \mathrm{d} t$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷大
$\text{B.}$ 无穷小
$\text{C.}$ 有界但非无穷小
$\text{D.}$ 无界但非无穷大
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设$f(x)$在$x=1$处可导且$f(1)=0$,$f'(1)=\pi$,则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f( \cos x)}{ \ln (1+x^{2})}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $\alpha>1$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k^\alpha}=$
$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left\{\ln \left(1+2 x-x^2\right)-6\left[(1+x)^{\frac{1}{3}}-1\right]\right\}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}-\mathrm{e}^{2-2 \cos x}}{\mathrm{e}^{x^4}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\sin ^2 x+\mathrm{e}^x\right)-x}{\ln \left(\mathrm{e}^{2 x}-x^2\right)-2 x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}=$
$I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\right)=$
$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设$ f(x)= \begin{cases} \sin 2x, & x < 0\\ \ln(1+2x),&x \ge 0 \end{cases} $，求$f'(x)$.
求常数$a$,$b$使得 $f(x)= \begin{cases} \ln (1 3x) 2ae^{x},&x>0, \\ 5 \arctan \frac {2x}{1-x} 3b(x 1)^{2},&x \le 0 \end{cases}$ 在$x=0$处可导.
设 $f(x)= \begin{cases} 2x b,&x < 0, \\ \ln(1 ax) 1,&x \ge 0, \end{cases}$ 且$f'(0)$存在,求$a$,$b$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n} \sin \frac{1}{n}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n$ 其中 $a>0, b>0, c>0$ .
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}$
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-x}{x^2}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n}\right)$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$.
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
求极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i}$.
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开 区间 $(a, b)$ 内可导， $f(a) \neq f(b)$. 证明: 存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ， 使得
$$
a b(a+b) f^{\prime}(\xi)=2 \xi \eta^2 f^{\prime}(\eta)
$$