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考6

数学

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1.

x \to 0^{+}

时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由

{\begin{cases} x = t^{3} \\ y = t^{2} \end{cases}

确定的函数

y = f (x)

②

\ln (- x + \sqrt{1 + x^{2}})

③

\int_{0}^{\sin x} \ln (1 + \sqrt{t^{2}}) d t

④

\frac{1 - \cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}

A.

①④②③

B.

②④①③

C.

①④③②

D.

④②①③

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2. 2. 如果一个二元函数

f (x, y)

可以写为一个关于

x

的函数

g (x)

乘以一个关于

y

的函数

h (y)

, 也就是

f (x, y) = g (x) h (y)

的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离”, 假定下列的函数中

f (x, y)

具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
①. 若

f (x, y) = x y e^{x + y}

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
②. 若

f (x, y) = (x + y) e^{x y}

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
③. 若

f (x, y) > 0

并且

\frac{\partial^{2} (\ln f (x, y))}{\partial x \partial y} = 0

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
④. 若

f (x, y) > 0

并且满足

\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \cdot f (x, y)

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离

A.

②

B.

①③④

C.

②④

D.

①③

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3. 设

f (x) = | x^{3} - 1 | g (x)

, 其中

g (x)

连续,则

g (1) = 0

是

f (x)

在

x = 1

处可导的

()

.

A.

充分条件

B.

必要条件

C.

充分必要条件

D.

非充分非必要条件

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4. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

.

B.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

.

C.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

.

D.

1 - \cos \sqrt{x}

.

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5. 下列命题中正确的是

A.

若函数

f (x)

在

x = x_{0}

处不可导, 则

f (x)

在

x = x_{0}

处不连续.

B.

若函数

f (x)

在

x = x_{0}

处不连续, 则

f_{-}^{'} (x_{0}), f_{+}^{'} (x_{0})

中至少有一个不存在.

C.

若

f_{-}^{'} (x_{0}), f_{+}^{'} (x_{0})

存在, 则函数

f (x)

在

x = x_{0}

处可导.

D.

若函数

f (x)

在

x = x_{0}

处连续, 则

f (x)

在

x = x_{0}

处左可导并且右可导.

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6. 设

f (x)

在点

x = a

的某个邻域内有定义, 则

f (x)

在

x = a

处可导的一个充分条件是

A.

lim_{h \to + \infty} h [f (a + \frac{1}{h}) - f (a)]

存在.

B.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 2 h) - f (a + h)}{h}

存在.

C.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - h)}{2 h}

存在.

D.

lim_{h \to 0} \frac{f (a) - f (a - h)}{h}

存在.

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7. 设函数

f (x)

在

x = 0

的某邻域内连续, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x \sin x} = - 2

, 则在

x = 0

处

f (x)

A.

不可导.

B.

可导, 且

f^{'} (0) \neq 0

.

C.

取极大值.

D.

取极小值.

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8. 设函数

f (x)

具有 2 阶导数,

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

则在区间

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

.

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

.

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

.

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

.

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9. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} 2 (x - 1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geq 1, \end{cases}

则

f (x)

的一个原函数是

A.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1 \\ x (\ln x - 1), & x \geq 1 \end{cases}

B.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1 \\ x (\ln x + 1) - 1, & x \geq 1 \end{cases}

C.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1, \\ x (\ln x + 1) + 1, & x \geq 1 . \end{cases}

D.

F (x) = {\begin{cases} (x - 1)^{2}, & x < 1, \\ x (\ln x - 1) + 1, & x \geq 1 \end{cases}

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10. 设函数

f (x)

是连续函数, 则下列结论中正确的个数是
(1)若

f (x)

在任意区间

[a, b]

上满足

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

, 则

f (x) \equiv 0

.
(2)若

f (x) \geq 0

, 并且存在区间

[a, b]

使得

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

, 则

f (x) = 0 (x \in [a, b])

.
(3) 若

[a_{1}, b_{1}] \subset [a, b]

, 则

\int_{a_{1}}^{b_{1}} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x

.
(4) 设

g (x)

连续. 若

f (x) > g (x), a, b

为不相等的常数, 则

\int_{a}^{b} f (x) d x > \int_{a}^{b} g (x) d x

.

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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11. 若

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty, lim_{x \to x_{0}} g (x) = \infty

, 则

A.

lim_{x \to x_{0}} [f (x) + g (x)] = \infty

.

B.

lim_{x \to x_{0}} [f (x) - g (x)] = \infty

.

C.

lim_{x \to x_{0}} f (x) g (x) = \infty

.

D.

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \infty

.

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12. 设当

x \to 0

时,

e^{x} - (a x^{2} + b x + 1)

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{1}{2}, b = 1

.

B.

a = 1, b = 1

.

C.

a = - \frac{1}{2}, b = - 1

.

D.

a = - 1, b = 1

.

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13. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1 + \sin \frac{π}{2} x, & x ⩽ 1, \\ 2 - \sqrt{x - 1}, & x > 1 . \end{cases}

对

f (x)

给出两个命题:①点

x = 1

是

f (x)

的一个极值点; ②点

(1, 2)

是曲线

y = f (x)

的一个拐点. 则

A.

①和 ② 都正确.

B.

①正确,但② 不正确.

C.

① 不正确, 但② 正确.

D.

①和② 都不正确.

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14. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 2]

上二阶可导, 且

f^{''} (x) > 0

, 又

f (0) = 2 f (1) = f (2) = 2

, 则

A.

1 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 2

.

B.

\frac{3}{2} < \int_{0}^{2} f (x) d x < \frac{5}{2}

.

C.

2 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 3

.

D.

3 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 4

.

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15. 下列命题中不正确的是

A.

若

f (x)

在

x = x_{0}

处左、右导数均存在但不相等, 则

f (x)

在

x = x_{0}

连续。

B.

若

lim_{n \to \infty} f (n) = A, lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

, 则

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

。

C.

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A, A

为有限值,

lim_{x \to x_{0}} g (x)

不存在, 则

lim_{x \to x_{0}} f (x) g (x)

不存在

D.

lim_{x \to x_{0}} [f (x) + g (x)]

不存在, 但

lim_{x \to x_{0}} g (x)

存在, 则

lim_{x \to x_{0}} f (x)

不存在

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16. 函数

f (x) = | x \sin x | e^{\cos x}, x \in (- \infty, + \infty)

, 是

A.

单调函数

B.

周期函数

C.

偶函数

D.

有界函数

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17. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{(x^{3} - 1) \sin x}{| x | (1 + x^{2})}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases} x \in (- \infty, + \infty)

, 则

A.

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有界

B.

存在

X > 0

, 当

| x | < X

时,

f (x)

有界, 当

| x | > X

时,

f (x)

无界

C.

存在

X > 0

, 当

| x | < X

时,

f (x)

无界, 当

| x | > X

时,

f (x)

有界

D.

对任意

X > 0

, 当

| x | ⩽ X

时,

f (x)

有界, 但在

(- \infty, + \infty)

内无界

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18. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内为连续的奇函数,

a

为常数, 则必为偶函数的是

A.

\int_{0}^{x} d u \int_{a}^{u} t f (t) d t

B.

\int_{a}^{x} d u \int_{0}^{u} f (t) d t

C.

\int_{0}^{x} d u \int_{a}^{u} f (t) d t

D.

\int_{a}^{x} d u \int_{0}^{u} t f (t) d t

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19. 当

x \to 0

时,

\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}

是

A.

无穷大

B.

无穷小

C.

有界但非无穷小

D.

无界但非无穷大

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

20. 设

f (x)

在

x = 1

处可导且

f (1) = 0

,

f^{'} (1) = π

,则

lim_{x \to 0} \frac{f (\cos x)}{\ln (1 + x^{2})} = \underset{―}{}

.

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21. 设

α > 1

，则极限

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k^{α}} =

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22.

I = lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} {\ln (1 + 2 x - x^{2}) - 6 [(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1]} =

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23.

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - e^{2 - 2 \cos x}}{e^{x^{4}} - 1} =

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24.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin^{2} x + e^{x}) - x}{\ln (e^{2 x} - x^{2}) - 2 x} =

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25.

lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - e^{x^{2}}) \sin x^{2}}{\frac{x^{2}}{2} + 1 - \sqrt{1 + x^{2}}} =

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26.

I = lim_{x \to + \infty} (\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}} - \sqrt[6]{x^{6} - x^{5}}) =

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27.

I = lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x}) (1 - \sqrt[3]{\cos x}) \dots (1 - \sqrt[n]{\cos x})}{(1 - \cos x)^{n - 1}} =

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三、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

28. 设

f (x) = {\begin{cases} \sin 2 x, & x < 0 \\ \ln (1 + 2 x), & x \geq 0 \end{cases}

，求

f^{'} (x)

.

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29. 求常数

a

,

b

使得

f (x) = {\begin{cases} \ln (13 x) 2 a e^{x}, & x > 0, \\ 5 \arctan \frac{2 x}{1 - x} 3 b (x 1)^{2}, & x \leq 0 \end{cases}

在

x = 0

处可导.

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30. 设

f (x) = {\begin{cases} 2 x b, & x < 0, \\ \ln (1 a x) 1, & x \geq 0, \end{cases}

且

f^{'} (0)

存在,求

a

,

b

.

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31.

lim_{n \to \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \sin \frac{1}{n}

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32.

lim_{n \to \infty} {(\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3})}^{n}

其中

a > 0, b > 0, c > 0

.

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33.

lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x) [x - \ln (1 + \tan x)]}{\sin^{4} x}

.

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34.

lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}} - 1}

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35. 设

f (x)

二阶可导,

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 2

. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - x}{x^{2}}

.

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36.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2} + n + 1} + \frac{2}{n^{2} + n + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n + n})

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37. 求极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}})

.

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38. 已知

lim_{x \to 1} \frac{a x^{2} + x - 3}{x - 1} = b

, 求常数

a, b

的值.

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39. 求极限

l = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{n + i}

.

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40. 设

a > 0

，函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续，在开区间

(a, b)

内可导，

f (a) \neq f (b)

. 证明: 存在

ξ, η \in (a, b)

，使得

a b (a + b) f^{'} (ξ) = 2 ξ η^{2} f^{'} (η)

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