一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\tan h-h)}{h^3}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\ln (1+h)-h)}{h^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\arctan h-h)}{h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h}$ 存在.
已知函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数且 $f(0) \neq 0$, 极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}-\frac{1}{x^2 f\left(x^2\right)}\right]=$
$\text{A.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{B.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{C.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
$\text{D.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
在下列区间内，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{x(x-1)}$ 的有界的是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$.
$\text{D.}$ 以上都不正确.
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^x+\frac{a x^2+b x}{1-\sin x}\right)^{\cot ^2 x}=1$, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
已知 $a, b$ 均为常数, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}\left[\int_0^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t+a\right]=b$, 则
$\text{A.}$ $a$ 为任意常数, $b=0$
$\text{B.}$ $a$ 为任意常数, $b=-1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=0$
$\text{D.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=-1$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] \mathrm{d} t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设 $f(x)=\int_x^{x^2}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t, x>1$, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{f(n)}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小量.
$\text{B.}$ 同阶非等价无穷小量.
$\text{C.}$ 高阶无穷小量.
$\text{D.}$ 低阶无穷小量.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=4$, 则 $\int_0^1\left[f(x) \int_x^1 f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
$x \rightarrow 0$ 时, 若 $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x}{1+b x+c x^2}$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{4}{3}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{6}$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{n}{(n+1) !}\right]^{2 n \cdot n !}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x} \int_0^x\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $f^{(4)}(0)=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$ ，求 $y^{(n)}$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
设 $f(x)=x \mathrm{e}^x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left[\frac{f^{(k)}(0)}{n}\right]=$
若 $a>2, b, c \neq 0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{b \sin x-\int_{c x^3}^{b x} e^{-t^a} \mathrm{~d} t}{x-\sin x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知函数 $f(x)$ 可导, 设 $g(x)=\arctan [f(x)], f^{\prime}(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$, 则 $f(0)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \cdot \sin \left(x^2\right)}$.
设 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=1$ ，分析
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
g(x) \sin \left(\frac{1}{x}\right), x>0, \\
g(x) \cos x, x \leq 0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{(1+x)}\right)^{1+x}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x}
$$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \text { 个9 }}=1$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$
设 $a_1=a>0, a_2=b>0$, 且满足 $a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^2}+\frac{1}{a_n^2}, \quad n=1,2,3$ 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
设 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $-1 < x_0 < 0, x_{n+1}=x_n^2+2 x_n(n=0,1,2, \cdots)$,证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{x \rightarrow 0} x_n$
设 $\lambda>1, a=\lambda^{\frac{1}{\lambda}}$ , $a_1=a, a_2=a^{a_1}, \cdots, a_{n+1}=a^{a_n}, \cdots .$
试问 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 是否存在? (请详细说明理由). 如果存在的话, 求出此极限值.
设正数列 $A$ 满足$x_{n+1} \leqslant x_n+\frac{1}{n^2},$ 求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $a_1=\sqrt{1+2015}, a_2=\sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016}}, \cdots$,
$$
a_n=\sqrt{(1+2015 \sqrt{(1+2016 \sqrt{(1+\cdots+(2014+n) \sqrt{1+(2013+n)})})}}
$$
求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 的值
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$, 其中 $y_n=1+\frac{y_{n-1}}{1+y_{n-1}}, y_0=1$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=a>1$, 且满足递推
$$
x_{n+1}=1+\ln \left(\frac{x_n^2}{1+\ln x_n}\right), n=2,3, \cdots
$$
求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求出极限值
设 $x_1>x_2>0, x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1} x_n}$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求极限
设 $x_1=a \geqslant 0, y_1=b \geqslant 0$, 且
$x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}, y_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+y_n\right), n=1,2, \cdots \text {, }$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
若 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^4+3}-\left[A+B(x-1)+C(x-1)^2\right]}{(x-1) \sin (x-1)}=0$, 求常数 $A, B, C$ 。