一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,且 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$,则 $\boldsymbol{A}$ 中 $(\quad)$
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 .
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合.
四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4}\end{array}\right|$ 的值等于
$\text{A.}$ $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}-b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$.
$\text{B.}$ $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$.
$\text{C.}$ $\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)\left(a_{3} a_{4}-b_{3} b_{4}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(a_{2} a_{3}-b_{2} b_{3}\right)\left(a_{1} a_{4}-b_{1} b_{4}\right)$.
若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2$ 都是四维列向量，且四阶行列式 $ \left|\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \beta_1\right|=m,\left|\alpha_1 \alpha_2 \beta_2 \alpha_3\right|=n $, 则四阶行列式 $\left|\alpha_3 \alpha_2 \alpha_1\left(\beta_1+\beta_2\right)\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
设矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $R(A)=m < n ， E_m$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下述结论中正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于零
$\text{C.}$ 若矩阵 $B$ 满足 $B A=0$ ，则 $B=0$
$\text{D.}$ $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $\left(E_m, 0\right)$ 的形式
设 $A$ 是任一 $n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*=$
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $k^{-1} A^*$
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 对应的伴随矩阵，分块矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$, 则 $C$ 的伴随矩阵 $C^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| A^* & 0 \\ 0 & |B| B^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| B^* & 0 \\ 0 & |A| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & 0 \\ 0 & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & 0 \\ 0 & |A| B^*\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为满足 $A B=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^* \neq 0$ ，若 $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 仅含一个非零解向量
$\text{C.}$ 含有两个线性无关的解向量
$\text{D.}$ 含有三个线性无关的解向量
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B ， A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $B=E+A B, C=A+C A$ 则 $B-C$ 等于
$\text{A.}$ $E$
$\text{B.}$ $-E$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $-A$
设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $A^*=A^T$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵， $A^T$ 为 $A$ 的转置矩阵. 若 $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $a_{11}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=O$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $E-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵， $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵，且 $P^T A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ， $Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵， $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵，且 $P^T A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 若
$$
P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right),
$$
则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 是 4 阶矩阵、 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $A x=0$ 的一个基础解系，则 $A^* x=0$的基础解系可为
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
二、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $4 \times 4$ 矩阵 ${A}=\left({\alpha}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}\right), {B}=\left({\beta}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}\right)$, 其中 ${\alpha}, {\beta}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}$ 均为 4 维列向量, 且已知行列式 $|{A}|=4,|{B}|=1$, 则行列式 $|{A}+{B}|=$
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3), \boldsymbol{\beta}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$, 设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置, 则 $\boldsymbol{A}^{n}=$
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{cccccc}a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a\end{array}\right|_n=$
设 $A$ 为 $m$ 阶方阵， $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=a,|B|=b, C=\left(\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right)$, 则 $|C|=$
行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}1-a & a & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1-a\end{array}\right|=$
设 $n$ 阶矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccccc}0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0\end{array}\right]$, 则
$$
|\boldsymbol{A}|=
$$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素全为 1 ，则 $A$ 的 $n$ 个特征值是
设 $a=(1,0,-1)^T$ ，矩阵 $A=\alpha \alpha^T, n$ 为正整数，则 $\left|a E-A^n\right|=$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$, 则第四行各元素余子式之和的值为
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足
$$
A B A^*=2 B A^*+E,
$$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$
6、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足
$$
A B A^*=2 B A^*+E,
$$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=P^{-1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004}-2 A^2=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,3, \lambda$. 若行列式 $|2 A|=-48$ ，则 $\boldsymbol{\lambda}=$
设 $A, B$ 为三阶矩阵, 且 $|A|=3,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2$,则 $\left|A+B^{-1}\right|=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 ${A} {P}={P B}$, 其中 ${B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), {P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$, 求 ${A}$ 及 ${A}^{5}$.
已知实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足条件:
(1) $A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式；
(2) $a_{11} \neq 0$.
计算行列式 $|\mathbf{A}|$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 矩阵 $X$ 满足
$$
A^* X=A^{-1}+2 X,
$$
其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$.
设 $\alpha$ 为 3 维列向量， $\alpha^T$ 是 $\alpha$ 的转置，若
$$
\alpha \alpha^T=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
则 $\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}=$
设三阶方阵 $A, B$ 满足 $A^2 B-A-B=E$ ，其中 $E$ 为三阶单位矩阵，若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $|B|=$