一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_{0}^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{x} \ln 2$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{x}+\ln 2$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{2 x}+\ln 2$.
设 $y=f(x)$ 是满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-e^{\sin x}=0$ 的解，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则 $f(x)$ 在
$\text{A.}$ $x_0$ 的某个邻域内单调增加
$\text{B.}$ $x_0$ 某个邻域内单调减少
$\text{C.}$ $x_0$ 处取得极小值
$\text{D.}$ $x_0$ 处取得极大值
函数 $y=C_1 e^x+C_2 e^{-2 x}+x e^x$ 满足一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e^x$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e^x$
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
二、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+y}+\cos (x y)=0$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x^2-4 x\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$ 的通解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ，$\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
微分方程 $\left(y+x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为三维列向量，记矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，
$$
B=\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3\right) \text { ， }
$$
如果 $|A|=1$ ，那么 $|B|=$
方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足初始条件 $y(1)=2$ 的特解为
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
设 $A, B$ 为三阶矩阵,且 $|A|=3,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2$,则 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}^{-1}\right|=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)=\sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f$ 为连续函数, 求 $f(x)$.
求微分方程 $x^{2} y^{\prime}+x y=y^{2}$, 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解.
设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发, 以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动. 物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与$A$ 同时出发, 其速度大小为 $2 v$, 方向始终指向 $A$, 试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方 程, 并写出初始条件.
设曲线 $L$ 位于 $x O y$ 平面的第一象限内, $L$ 上任一点 $M$ 处的切线与 $y$ 轴总相交, 交点记为 $A$. 已知 $|\overline{M A}|=|\overline{O A}|$, 且 $L$ 过点 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 求 $L$ 的方程.
设对任意 $x>0$, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$, 求 $f(x)$ 的 一般表达式.
求微分方程 $\left(y-x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 的通解.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x^2 .
$$
求微分方程 $\left(x^2-1\right) \mathrm{d} y+(2 x y-\cos x) \mathrm{d} x=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 的特解.
设函数 $y=y(x)$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-4\end{array}\right.$ ，求广义积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$.
设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 $\left.v\right|_{t=0}=v_0$ ，已知阻力与速度成正比 (比例常数为 1 )，问 $t$ 为多少时此质点的速度为 $\frac{v_0}{3}$ ? 并求到此时刻该质点所经过的路程.
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) \mathrm{d} t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 为连续函数.
(1) 求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+a y=f(x) \\ \left.y\right|_{x=0}=0\end{array}\right.$ 的解 $y=y(x)$ ，其中 $a$ 是正常数；
(2) 若 $|f(x)| \leq k(k$ 为常数)，证明：当 $x \geq 0$ 时，有
$$
|y(x)| \leq \frac{k}{a}\left(1-e^{-\alpha x}\right)
$$
在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 $N$ ，在 $t=0$ 时刻已掌握新技术人数为 $x_0$ ，在任意时刻 $t$ 已掌握新技术的人数为 $x(t)$ （将 $x(t)$视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 $k>0$ ，求 $x(t)$.
求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0(x>0) \\ \left.y\right|_{x=1}=0\end{array}\right.$ 的解.
某湖泊的水量为 $V$ ，每年排入湖泊内含污染物 $A$ 的污水量为 $\frac{V}{6}$ ，流入湖泊内不含 $A$ 的水量为 $\frac{V}{6}$ ，流出湖泊的水量为 $\frac{V}{3}$.已知 1999 年年底湖中 $A$ 的含量为 $5 m_0$ ，超过国家规定指标，为了治理污水，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含 $A$ 污水的浓度不超过 $\frac{m_0}{V}$. 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 $A$ 的含量将至 $m_0$ 以内? (注: 设湖水中 $A$ 的浓度是均匀的.)
设 $y=f(x)$ 是第一象限内连接点 $A(0,1), B(1,0)$ 的一段连续曲线， $M(x, y)$ 为该曲线上任意一点，点 $C$ 为 $M$ 在 $x$ 轴上的投影， $O$ 为坐标原点. 若梯形 $O C M A$ 的面积与曲边三角形 $C B M$ 的面积之和为 $\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足
$$
f_u^{\prime}(u, v)+f_v^{\prime}(u, v)=u v .
$$
求 $y(x)=e^{-2 x} f(x, x)$ 所满足的一阶微分方程，并求其通解.
设级数 $\frac{x^4}{2 \cdot 4}+\frac{x^6}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{x^8}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots(-\infty < x$ $ < +\infty)$ 的和函数为 $S(x)$. 求:
（1） $S(x)$ 所满足的一阶微分方程；
(2) $S(x)$ 的表达式.
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是