一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0$, $y=x^2, x=1$ 所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于
$\text{A.}$ $x y$
$\text{B.}$ $2 x y$
$\text{C.}$ $x y+\frac{1}{8}$
$\text{D.}$ $x y+1$
设 $S: x^2+y^2+z^2=a^2(z \geq 0), S_1$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分，则有
$\text{A.}$ $\iint_S x \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_S y \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_S z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_S x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x y z \mathrm{~d} S$
设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
函数 $f(x, y)=\arctan \frac{x}{y}$ 在点 $(0,1)$ 处的梯度等于
$\text{A.}$ i
$\text{B.}$ -i
$\text{C.}$ j
$\text{D.}$ -j
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
向量场 $\boldsymbol{u}(x, y, z)=x y^{2} \boldsymbol{i}+y \mathrm{e}^{z} \boldsymbol{j}+x \ln \left(1+z^{2}\right) \boldsymbol{k}$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{u}=$
函数 $u=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 在点 $M(1,2,-2)$ 处的梯度 $\left.\operatorname{grad} u\right|_{M}=$
设数量场 $u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 则 $\operatorname{div}(\operatorname{grad} u)=$
函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为
设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长记为 $a$ ，则 $\oint_L\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} s=$
曲线 $y=-x^3+x^2+2 x$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积 $A=$
设 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} r)\right|_{(1,-2,2)}=$
设 $\rho=\rho(x)$ 是抛物线 $y=\sqrt{x}$ 上任一点 $M(x, y)(x \geq 1)$处的曲率半径， $s=s(x)$ 是该抛物线上介于点 $A(1,1)$ 与 $M$ 之间的弧长，计算 $3 \rho \frac{\mathrm{d}^2 \rho}{\mathrm{d} s^2}-\left(\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} s}\right)^2$ 的值. (在直角坐标系下曲率公式为 $K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.
设 $L$ 是一条平面曲线，其上任意一点 $P(x, y)(x>0)$ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，且 $L$ 经过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.
(1) 试求曲线 $L$ 的方程;
(2) 求 $L$ 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 $L$ 以及两坐标轴所围图形面积最小.
设 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$ 的值为
设曲面 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的上侧，则
$$
\iint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
已知曲线 $L: y=x^2(0 \leq x \leq \sqrt{2})$ ，则 $\int_L x \mathrm{~d} s=$
当 $0 \leq \theta \leq \pi$ 时，对数螺线 $r=e^\theta$ 的弧长为
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
三、解答题 （ 共 22 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\boldsymbol{I}=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=r(\theta), M(r, \theta)$ 为 $L$ 上任一点， $M_0(2,0)$ 为 $L$ 上一定点，若极径 $O M_0, O M$ 与曲线 $L$ 所围成的曲边扇形面积值等于 $L$ 上 $M_0, M$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的直角坐标方程.
设 $D$ 是以点 $O(0,0), A(1,2)$ 和 $B(2,1)$ 为顶点的三角形区域，求 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
确定常数 $\lambda$ ，使在右半平面 $x>0$ 上的向量
$$
\vec{A}(x, y)=2 x y\left(x^4+y^2\right)^\lambda \vec{i}-x^2\left(x^4+y^2\right)^\lambda \vec{j}
$$
为某二元函数 $u(x, y)$ 的梯度，并求 $u(x, y)$.
设 $y=y(x)$ 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 $(x, y)$处的曲率为 $\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$, 且此曲线上的点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $y=x+1$ ，求该曲线的方程，并求函数 $y=y(x)$ 的极值.
求 $I=\int_L\left(e^x \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(e^x \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $a, b$ 为正的常数， $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心， $R(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向.
设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geq 0)$ ，若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线
已知抛物线 $y=p x^2+q x$ (其中 $p < 0, q>0$ ) 在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此抛物线与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S$.
(1) 问 $p$ 和 $q$ 为何值时， $S$ 达到最大?
(2) 求出此最大值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数， $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ，记
$$
I=\int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，求 $I$ 的值.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线，该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 $D$.
(1) 求 $D$ 的面积 $A$.
(2) 求 $D$ 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$.
设位于第一象限的曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，其上任一点 $P(x, y)$ 处的法线与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $x$轴平分.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 的方程;
（2）已知曲线 $y=\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的弧长为 $l$ ，试用 $l$ 表示曲线 $y=f(x)$ 的弧长 $s$.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^2-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\sum$ 是曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧.
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 x}, x \leq 0 \\ e^{-2 x}, x>0\end{array}\right.$ ，S 表示夹在 $x$ 轴与曲线 $y=F(x)$ 之间的面积. 对任何 $t>0, S_1(t)$ 表示矩形 $-t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F(t)$ 的面积. 求
(1) $S(t)=S-S_1(t)$ 的表达式；
(2) $S(t)$ 的最小值.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} .
$$
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-\frac{y^2}{4}(0 \leq z \leq 1)$ 的上侧.
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2, & |x|+|y| \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 1 < |x|+|y| \leq 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \| x|+| y \mid \leq 2\}
$$
计算曲线积分 $\int_L \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^2-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段.
计算 $\iint_D \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$
设 $a_n$ 为曲线 $y=x^n$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围区域的面积，记 $S_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_n ， S_2=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $S_1$ 与 $S_2$ 的值