一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$, 而
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3, \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数, 它在区间 $(-1,1]$ 上的定义为
$$
f(x)= \begin{cases}2, & -1 < x \leqslant 0, \\ x^{3}, & 0 < x \leqslant 1,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 的傅里叶 (Fourier) 级数在 $x=1$ 处收敛于
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi < x \leqslant 0, \\ 1+x^{2}, & 0 < x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 则其以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
设函数 $f(x)=\pi x+x^{2}(-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$, 则其中系数 $b_{3}$ 的值为
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n}{2^n}$ 的和为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots\right. \left.+\frac{n}{n^2+n+n}\right)=$
$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right]=$
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则 $a_2=$
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^x$ ，则非齐次方程
$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x
$$
满足条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $y=$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n-(-1)^n}{n^2} x^n$ 的收敛半径为
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
三、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ 展开为 $x$ 的幕级数.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ 的和.
将函数 $f(x)=\frac{1}{4} \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2} \arctan x-x$ 展开成 $x$ 的幂级数.
将函数 $f(x)=x-1(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展开成周期为 4 的余弦级数.
设 $x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n=1,2, \cdots)$, 试证数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 极限存在, 并求此极限.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$ 展开成幂级数，并指出其收敛区间.
将函数 $y=\ln \left(1-x-2 x^2\right)$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1)$ 上单调减少且非负的连续函数，
$$
a_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x) \mathrm{d} x(n=1,2, \cdots) .
$$
证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在.
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=0}^{\infty} I_n$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x} \arctan x, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ ，将 $f(x)$ 展开成 $x$的幂级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1-4 n^2}$ 的和.
已知 $f_n(x)$ 满足 $f_n^{\prime}(x)=f_n(x)+x^{n-1} e^x$ ( $n$ 为正整数)且 $f_n(1)=\frac{e}{n}$ ，求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 之和.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$ ；
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$;
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和.
求幂级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n}(|x| < 1)$ 的和函数 $f(x)$ 及其极值.
设 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$.
(1) 证明 $f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数；
(2) 求 $f(x)$ 的值域.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right] x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$.
数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < \pi, x_{x+1}=\sin x_n(n=1,2, \cdots) .$
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求之.
(2) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$.
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $s(x)$.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ 展开成 $x-1$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
设 $f(x)$ 是连续函数，
(1) 利用定义证明函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 可导，$F^{\prime}(x)=f(x) ;$
(2) 当 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数
$$
G(x)=2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t-x \int_0^2 f(t) \mathrm{d} t
$$
也是以 2 为周期的周期函数.
将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和.
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数，
（I ) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(ㅍ) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周期函数.
(1) 证明：对任意的正整数 $n$ ，都有
$$
\frac{1}{n+1} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \text {. }
$$
(2) 设 $a_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.