解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的可导函数，且导函数 $f^{\prime}$ 处处连续，假设 $\int_0^{+\infty} f^2(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty}\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x$ 均收敛，
证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $f(x)>0 ， x \in[a, b]$.证明 $\lim _{p \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p(x) d x\right)^{\frac{1}{p}}=\exp \left\{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln f(x) d x\right\}$其中 $\exp (t)=e^t$ 表示指数函数
考虑无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \quad x \in[-\pi, \pi]
$$
1)证明级数在 $x=0, \pm \pi$ 处绝对收敛，在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上条件收敛；
2) 记极限函数为 $S(x)$ ，证明 $S(x)$ 是 $[-\pi, 0) \cup(0, \pi]$ 上的连续函数；
3) 证明函数 $S(x)$ 在 0 处不连续。
设 $f_n(x)=n^\alpha \cdot x e^{-n x},(n=1,2, \cdots)$ ，问:
(1) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛?
(2) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛?
(3) 当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立?
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 \lim _{n \rightarrow+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x $
解答如下问题:
(1) 叙述 $\mathbb{R}^n$ 上的有限覆盖定理.
(2) 设对任意的 $x_0 \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$ ，证明:
$f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0 $
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上点点收敛，但并非一致收敛.