填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x=$
当 $a$ 满足 ________ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{1-2 a}}$ 条件收敛.
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
记 $F(x)=\int_0^{x^2} \cos \left(\pi t^2\right) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(1)=$
设 $f(x)=\min \left\{x^2, 1\right\}$ ，则 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+1}=$
设 $p>0$ ，广义积分 $\int_1^{+\infty} x^2 \ln \left(1+\sin \frac{1}{x^p}\right) \mathrm{d} x$ 收敛，则实数 $p$ 的取值范围是
由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}} ， x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $2 \int_1^x f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=x^3+\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
求 $\int_0^3(x+1) \ln \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域及和函数.
证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$, 试证存在 $\xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)+\xi^{\prime}(\xi)=0$.
求积分 $\int_0^{\mathrm{e}} \cos (\ln x) \mathrm{d} x$ 的值。
设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $T$ 为周期的周期函数Q，且连续，证明:
( I ) 函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d} t$ 是以 $T$ 为周期的周期函数；
(II) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d} t$ 。
设可导函数 $ f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
( I ) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
(II) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A+$ )
设 $f \in C[0,1] ， g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证:
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) \mathrm{d} x=\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int_0^1 g(x) \mathrm{d} x\right) 。
$$