一、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
二、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求定积分: $\int_0^\pi \cos ^2 x \mathrm{~d} x$.
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$.
求定积分: $\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$.
求定积分: $\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$.
求广义积分: $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos (a x) \mathrm{d} x$, 其中 $a$ 为常数.
求曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $x \in[1,2]$ 上的弧长.
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>0$.
设 $\mathbb{R}^m$ 是 $m$ 维实向量空间, 若 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 满足:
(a) $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}) \geqslant 0$, 当且仅当 $\vec{x}=\overrightarrow{0}$ 时取等;
(b) $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \quad \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \quad \varphi(\alpha \vec{x})=\alpha \varphi(\vec{x})$;
(c) $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}+\vec{y}) \leqslant \varphi(\vec{x})+\varphi(\vec{y})$.
则称 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数, 证明:
(1) $\forall \vec{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right), \quad\|\vec{x}\|_1=\sum_{k=1}^m\left|x_k\right|, \quad\|\vec{x}\|_2=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{1}{2}}$,
$\|\vec{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_k\right|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数;
(2) $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上是一致连续函数.
(3)设 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的任意一个范数, 则 $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \exists M_1, M_2>0$;
使得: $M_1\|\vec{x}\|_1 \leqslant\|\vec{x}\| \leqslant M_2\|\vec{x}\|_1$.
假设 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) ， f(0) f^{\prime}(0) \geq 0$ 并且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ 。证明存在 $0 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_n < \cdots$, 使得 $f^{(n)}\left(x_n\right)=0$ 。
假设存在常数 $C$ 使得对任意非负整数 $n$ 都有 $\left|f^{(n)}(x)\right| \leq C^n$ 。证明，对任意 $x_0 \in \mathbb{R} ， f(x)$ 有无穷 Taylor 级数
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k, \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
证明实轴 $\mathbb{R}$ 不能分解为可数个长度大于零的不交闭区间的并。
假设定义在区间 $(a, b)$ 上的函数 $f$ 的左右导数处处存在，证明 $f$ 至多在可数个点处不可导。
考虑无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \quad x \in[-\pi, \pi]
$$
1)证明级数在 $x=0, \pm \pi$ 处绝对收敛，在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上条件收敛；
2) 记极限函数为 $S(x)$ ，证明 $S(x)$ 是 $[-\pi, 0) \cup(0, \pi]$ 上的连续函数；
3) 证明函数 $S(x)$ 在 0 处不连续。