一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 均为三阶矩阵, $k>0$ 则下式成立的是
$\text{A.}$ $|k A|=k|A|$
$\text{B.}$ $(k A)^{-1}=k A^{-1}$
$\text{C.}$ $|A B|=|A||B|$
$\text{D.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,-1$, $2)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 必为
$\text{A.}$ 可逆矩阵.
$\text{B.}$ 正交矩阵.
$\text{C.}$ 对称矩阵.
$\text{D.}$ 正定矩阵.
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设三阶矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 相似, 且 $\mathrm{A}$ 的特征值为 $2,2,3$, 则 $\left|B^{-1}\right|=$
设 $\mathrm{A}$ 为 3 阶矩阵, 且 $|-2 A|=2$, 则 $|A|=$
设方程组 $\left\{\begin{array}{c}3 x_1+k x_2-x_3=0 \\ 4 x_2-x_3=0 \\ 4 x_2+k x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解, 则 $\mathrm{k}=$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则当常数 $k$ 满足 （ ） 时, 向量组 $k \alpha_2-\alpha_1$, $\alpha_3-\alpha_2, \alpha_1-\alpha_3$ 线性无关.
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$
三、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $\mathrm{X}$, 使 $A X=A+2 E$
计算行列式 $ \left|\begin{array}{llll}
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{array}\right| $ 的值
已知 3 阶方阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$, 试求伴随矩阵 $A^*$ 的逆矩阵.
已知二次型
$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$.
(1)写出二次型 $f$ 的矩阵表达式 ；
(2)用正交变换把二次型 $f$ 化为标准型，并写出相应正交矩阵.