单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)=1+\frac{x y}{\sqrt{1+y^3}}$, 则积分 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}-1)$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$.
设二重积分 $I_1=\iint_D \frac{x+y-1}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其 中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-2)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
设函数 $f(x)=\iint_{u^2+v^2 \leqslant x^2} \arctan \left(1+\sqrt{u^2+v^2}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v(x>0)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{-2 x}-1+2 x}=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
积分 $\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{-y^{2}} d y$ 的值等于
设区域 $D$ 为 $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$, 则 $\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$