填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设 $z=z(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=(t+1) \cos z, \\ y=t \sin z\end{array}\right.$ 确定, $t=t(x, y)$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \sin y, x^{2}+y^{2}\right)$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设函数 $Q(x, y)$ 在 $x O y$ 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分 $\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 并且 对任意 $t$ 恒有
$$
\int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
$$
求 $Q(x, y)$.