一、单选题 （共 5 题，每小题6分，共30 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=|x|$, 则函数在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且可导
$\text{B.}$ 连续且可微
$\text{C.}$ 连续不可导
$\text{D.}$ 不连续不可微
已知 $f(x)=(x-1)(2 x+1)$, 则在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内 $f(x)$.
$\text{A.}$ 单调增加, 且为凹弧
$\text{B.}$ 单调减少, 且为凹弧
$\text{C.}$ 单调减少, 且为凸弧
$\text{D.}$ 单调增加, 且为凸弧
设 $I=\int a^{b x} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a}+C$
$\text{B.}$ $\frac{1}{b} \cdot \ln a \cdot a^{b x}+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln a} a^{b x}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{b} \cdot a^{b x}+C$.
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
二、填空题 （共 10 题, 每小题 3分，共 30 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=e^{f\left(\frac{1}{x}\right)}, f$ 为可微函数, 则 $d y=$
设曲线 $y=\frac{x}{\sqrt{1+n x^2}}$ ( $n$ 为正整数) 与 $x=1$ 及 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周 所得体积为 $V_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n V_n=$
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^2 x+\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t\right) \sin ^2 x \mathrm{~d} x=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1+\arctan (x y)$ 所决定, 则 $y^{\prime}(0)=$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 40 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明：当 $ x> 0 $ 时, $ 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2} $
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right\}^{\frac{1}{x}}\left(a_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$.
求极限 $$\lim _{x \rightarrow 0} \int_0^x\left(\dfrac{\arctan t}{t}\right)^{\dfrac{1}{\int_0^t \ln (1+u) d u}} \cot x d t$$
设曲线 $y=y(x)$ 由参数方程 $x=t \ln t, y=\frac{\ln t}{t}\left(t>\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 给出, 求:
(I) $y=y(x)$ 的单调区间和极值、凹凸区间和拐点；
(II) 由曲线 $y=y(x)$, 直线 $x=-\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围成平面区域的面积.
(I) 设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上单调减少且非负的连续函数. 证明:
$$
f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant f(k)(k=1,2, \cdots)
$$
(II) 证明 : $\ln (1+n) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \leqslant 1+\ln n$, 并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}$.