2024年南京大学强基计划数学笔试试题与解析

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2024年南京大学强基计划数学笔试试题与解析

一、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 在

△ A B C, | z_{1} | = a, | z_{2} | = b, | z_{1} + z_{2} | = c

, 则

\frac{z_{1}}{z_{2}}

为

数（填写实数、虚数或纯虚数）

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2. 双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, 过左右焦点作平行于

y

轴的直线交双曲线于

A, B, C, D

, 若

A B C D

为正方形,求双曲线的离心率为

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3. 已知函数

f (x) = a x^{2} + b x + c (b > a)

, 对于

\forall x \in R, f (x) \geq 0)

恒成立, 求

\frac{b - a}{a + b + c}

的最大值是

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4. 过点

P (4, 4)

作抛物线

y^{2} = 4 x

的切线交

y

轴于点

Q

, 焦点为

F

, 则四边形

O F P Q

的面积为

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5. 四面体棱长为

4, 7, 20, 22, 28, t, t \in Z

, 求

t

的最小值是

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6. 存在集合

A = {1, 2, \dots, 10}

的一簄子集两两交集非空, 那么这簇子集最多有

个。

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7. 满足

f (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) = 0

的非零有理系数多项式

f

的最低次数为

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8. 已知

f (m) = {\begin{cases} m - 1, m 为奇数 \\ \frac{m}{2}, m 偶数 \end{cases}

, 若

a_{0} = \sum_{k = 0}^{2024} 4^{k}, a_{n + 1} = f (a^{n})

满足

a_{k} = 0

的最小

k

为

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9. 集合

S = {n ∣ 1 \leq n \leq 150, n^{2} - 1

为 120 的倍数

}

, 求

S

的元素个数为

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10. 已知

a \in {1, 3, 7, 9}, b \in {2, 4, 6, 8}, x

为

a^{b}

的个位数, 求

E (x) =

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二、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11.

a, b, c > 0, 4 a b c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

, 判断

(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})

是否存在最大值和最小值, 若存在, 请求解出最大值和最小值。

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