2022年北京大学强基计划笔试数学试题

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2022年北京大学强基计划笔试数学试题

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

[x]

表示不超过

x

的整数,如

[1.2] = 1, [- 1.2] = - 2

. 已知

α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

, 则

[α^{12}] =

A.

321

B.

322

C.

323

D.

以上都不对

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二、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 已知

2 n + 1

与

3 n + 1

均为完全平方数且

n

不超过 2022 , 则正整数

n

的个数为

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3. 已知凸四边形

A B C D

满足

∠ A B D = ∠ B D C = 50^{\circ}, ∠ C A D = ∠ A C B = 40^{\circ}

, 则符合题意且不相似的凸四边形

A B C D

的个数为

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4. 已知正整数

y

不超过 2022 且满足 100 整除

2^{y} + y

, 则这样的

y

的个数为

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5. 已知六位数

\overset{―}{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}

, 满足

\frac{\overset{―}{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{\overset{―}{f_{4} d_{5} d_{6}}} = {(1 + \overset{―}{y_{1} y_{2} f_{3}})}^{2}

, 则所有满足条件的六位数之和为 ________ (

\overset{―}{f_{4} d_{5} d_{6}}

不必为三位数

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6. 已知整数

a, b, c, d

满足

a + b + c + d = 6

, 则

a b + a c + a d + b c + b d + c d

的正整数取值个数为

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7. 已知凸四边形

A B C D

满足:

A B = 1, B C = 2, C D = 4, D A = 3

, 则其内切圆半径取值范围为

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8. 在梯形

A B C D

中,

A D \cup B C, M

在边

C D

上, 有

∠ A B M = ∠ C B D = ∠ B C D

, 则

\frac{A M}{B M}

取值范围为

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9. 已知

\sqrt{1 - x^{2}} = 4 x^{3} - 3 x

, 则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为

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10. 若

A

为十进制数,

A = \overset{―}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}}

, 记

D (A) = a_{0} + 2 a_{1} + 2^{2} a_{2} + \dots + 2^{n} a_{n}

. 已知

b_{0} = 2033^{10}, b_{n + 1} =

D (b_{n})

, 则

b_{2022}

各位数字的平方和 ________ 200(横线上填大于,小于或等于).

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11. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 12, a_{n + 1} = \frac{1}{4} (3 + a_{n} + 3 \sqrt{1 + 2 a_{n}})

, 则

a_{10}

最接近的整数为

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12. 已知

f (x)

是二次函数,

f (- 2) = 0

, 且

2 x ⩽ f (x) ⩽ \frac{x^{2} + 4}{2}

, 则

f (10) =

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13. 已知数列

{a_{k}}_{1 ⩽ 1 ⩽ 5}

各项均为正整数, 且

| a_{k + 1} - a_{k} | ⩽ 1, {a_{k}}

中存在一项为 3 , 可能的数列的个数为

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14. 将不大于 12 的正整数分为 6 个两两交集为空的二元集合, 且每个集合中两个元素互质, 则不同的分法有 ________ 种.

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15. 已知

y, f, d

为正整数,

f (x) = (1 + x)^{y} + (1 + x)^{f} + (1 + x)^{d}

. 其中

x

的系数为 10 , 则

x^{2}

的系数的最大可能值与最小可能值之和为

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16. 若

△ A B C

三边长为等差数列, 则

\cos A + \cos B + \cos C

的取值范围是

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17. 内接于椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

的菱形周长的最大值和最小值之和是

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