浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x) = \log_{3} x + x - 5

的零点所在的区间为

A.

(2, 3)

B.

(3, 4)

C.

(4, 5)

D.

(5, 6)

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2. 函数

y = 2 \tan (3 x + \frac{π}{6})

的定义域是

A.

{x | x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z}

B.

{x | x \neq \frac{π}{12} + k π, k \in Z}

C.

{x | x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in Z}

D.

{x | x \neq \frac{π}{9} + \frac{k π}{3}, k \in Z}

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3. 已知定义在

R

上的奇函数

f (x)

满足

f (x + 1) = - f (x)

, 则

f (2022) =

A.

-1

B.

C.

D.

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4. 已知

\tan α = 3

, 则

\frac{\sin (π - α) + 2 \cos (π + α)}{\sin (\frac{π}{2} + α) + \cos (\frac{3 π}{2} + α)} =

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{5}{4}

D.

\frac{1}{2}

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5. 若关于

x

的方程

\frac{(x + 1)^{2}}{x} + \frac{m (x - 1)^{2}}{x^{2} + 1} = 6

恰有三个不同的实数解

x_{1}, x_{2}, x_{3}

, 且

x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}

, 其中

m \in R

, 则

(x_{1} + \frac{1}{x_{1}}) (x_{2} + x_{3})

的值为

A.

-6

B.

-4

C.

-3

D.

-2

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二、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

6. 已知实数

a, b

满足

\log_{3} a + \log_{b} 3 = \log_{3} b + \log_{a} 4

, 则下列关系式可能正确的是

A.

\exists a, b \in (0, + \infty)

, 使

| a - b | > 1

B.

\exists a, b \in (0, + \infty)

, 使

a b = 1

C.

\forall a, b \in (1, + \infty)

, 有

b < a < b^{2}

D.

\forall a, b \in (0, 1)

, 有

b^{2} < a < b

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三、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 已知函数

f (x) = \sin x + \cos x

, 且

f (α) = - \frac{1}{5}, α \in (0, π)

.
(1) 求

f (- α)

的值;
(2) 若

\cos (α - β) = \frac{1}{3}, β \in (0, \frac{π}{2})

, 求

\cos β

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8. 已知函数

f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x - a + 3, a \in R

.
(1) 若

g (x) = f (x) - (a - 1) x^{2} + a - 3

在

(0, 3)

上有零点, 求实数

a

的取值范围;
(2) 若

f (x)

在区间

[\frac{1}{2}, 3]

上的最小值为 -2 , 求实数

a

的值.

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