单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\log _3 x+x-5$ 的零点所在的区间为
$\text{A.}$ $(2,3)$
$\text{B.}$ $(3,4)$
$\text{C.}$ $(4,5)$
$\text{D.}$ $(5,6)$
函数 $y=2 \tan \left(3 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的定义域是
$\text{A.}$ $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\right., k \in \mathrm{Z}\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{12}+k \pi\right., k \in \mathrm{Z}\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}\right., k \in Z\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{9}+\frac{k \pi}{3}\right., k \in \mathrm{Z}\right\}$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=-f(x)$, 则 $f(2022)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知 $\tan \alpha=3$, 则 $\frac{\sin (\pi-\alpha)+2 \cos (\pi+\alpha)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
若关于 $x$ 的方程 $\frac{(x+1)^2}{x}+\frac{m(x-1)^2}{x^2+1}=6$ 恰有三个不同的实数解 $x_1, x_2, x_3$, 且 $x_1 < 0 < x_2 < x_3$, 其中 $m \in \mathbf{R}$, 则 $\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_2+x_3\right)$ 的值为
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ -2
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知实数 $a, b$ 满足 $\log _3 a+\log _b 3=\log _3 b+\log _a 4$, 则下列关系式可能正确的是
$\text{A.}$ $\exists a, b \in(0,+\infty)$, 使 $|a-b|>1$
$\text{B.}$ $\exists a, b \in(0,+\infty)$, 使 $a b=1$
$\text{C.}$ $\forall a, b \in(1,+\infty)$, 有 $b < a < b^2$
$\text{D.}$ $\forall a, b \in(0,1)$, 有 $b^2 < a < b$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\sin x+\cos x$, 且 $f(\alpha)=-\frac{1}{5}, \alpha \in(0, \pi)$.
(1) 求 $f(-\alpha)$ 的值;
(2) 若 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 求 $\cos \beta$.
已知函数 $f(x)=a x^2-2(a+1) x-a+3, a \in \mathbf{R}$.
(1) 若 $g(x)=f(x)-(a-1) x^2+a-3$ 在 $(0,3)$ 上有零点, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 3\right]$ 上的最小值为 -2 , 求实数 $a$ 的值.