下列方程中, 一定是一元二次方程的是

用配方法解方程 $x^2-6 x-7=0$, 下列配方正确的是

利用求根公式求 $5 x^2+\frac{1}{2}=6 x$ 的根时, $a, b, c$ 的值分别是

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k+1) x^2+2 x-1=0$ 有实数根, 则 $k$ 的取值范围 是

$a$ 是方程 $x^2+x-1=0$ 的一个根, 则代数式 $a^3+2 a^2+2018$ 的值是

若 $\left(a^2+b^2-3\right)^2=25$, 则 $a^2+b^2=$

已知一元二次方程 $a(x+m)^2+n=0(a \neq 0)$ 的两根分别为 $-3,1$, 则方程 $a$ $(x+m-2)^2+n=0 \quad(a \neq 0)$ 的两根分别为

《代数学》中记载, 形如 $x^2+10 x=39$ 的方程, 求正数解的几何方法是: “如图 1 , 先构造一个面积为 $\mathrm{x}^2$ 的正方形, 再以正方形的边长为一边向外构造四个面 积为 $\frac{5}{2} \mathrm{x}$ 的矩形, 得到大正方形的面积为 $39+25=64$, 则该方程的正数解为 8 $-5=3$. ” 小聪按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^2+6 x+m=0$ 时, 构造出如图 2 所示的 图形, 已知阴影部分的面积为 36 , 则该方程的正数解为

用公式法解方程 $2 x^2-7 x+1=0$, 其中 $b^2-4 a c=$ , $\mathrm{x}_1$= ________ , $\mathrm{x}_2$ = ________

关于 $x$ 的方程 $\left(m^2-1\right) x^3+(m-1) x^2+2 x+6=0$, 当 $m=$ 时为一元二 次方程.

若 $m$ 为实数, 方程 $x^2-3 x+m=0$ 的一个根的相反数是方程 $x^2+3 x-3=0$ 的一 个根, 则 $x^2-3 x+m=0$ 的根是

对于实数 $p 、 q$, 我们用符号 ${\min \{p, q\}}$ 表示 $p 、 q$ 两数中较小的数, 如 $\min \{1$,
$2\}=1$, 若 $\min \left\{(x-1)^2, x^2\right\}=1$, 则 $x=$

(1) 用配方法解方程: $2 x^2-3 x-3=0$;
（2）用公式法解方程: $(x+1)(x-3)=2 x-5$.

当 $m$ 是何值时, 关于 $x$ 的方程 $\left(m^2+2\right) x^2+(m-1) x-4=3 x^2$
(1) 是一元二次方程;
(2) 是一元一次方程;
(3) 若 $x=-2$ 足它的一个根, 求 $m$ 的值.

阅读下列材料:
①关于 $x$ 的方程 $x^2-3 x+1=0(x \neq 0)$ 方程两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 得: $x-3+\frac{1}{x}=0$ 即 $x+\frac{1}{x}=3, \quad\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}+2, \quad x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=3^2-2=7$

② $\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3=(\mathrm{a}+\mathrm{b})\left(\mathrm{a}^2-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^2\right) ; \mathrm{a}^3-\mathrm{b}^3=(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{ab}+\mathrm{b}^2\right)$.

根据以上材料, 解答下列问题:

(1) $x^2-4 x+1=0(x \neq 0)$, 则 $x+\frac{1}{x}=$ $x^2+\frac{1}{x^2}=$
(2) $2 x^2-7 x+2=0(x \neq 0)$, 求 $x^3+\frac{1}{x^3}$ 的值.

阅读下列两则材料, 回答问题
材料一: 我们将 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 称为一对 “对偶式”
因为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$, 所以构造 “对偶式”
相乘可以有效地将 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ 和 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 中的根号去掉
例如: 已知 $\sqrt{25-x}-\sqrt{15-x}=2$, 求 $\sqrt{25-x}+\sqrt{15-x}$ 的值.
$$
\begin{aligned}
& \text { 解: }(\sqrt{25-x}-\sqrt{15-x}) \times(\sqrt{25-x}+\sqrt{15-x})=(25-x)-(15-x)=10 \\
& \because \sqrt{25-x}-\sqrt{15-x}=2, \\
& \therefore \sqrt{25-x}+\sqrt{15-x}=5
\end{aligned}
$$
材料二: 如图, 点 $A\left(x_1, y_1\right)$, 点 $B\left(x_2, y_2\right)$, 以 $A B$ 为斜边作 Rt $\triangle A B C$,
则 $C\left(x_2, y_1\right)$, 于是 $A C=\left|x_1-x_2\right|, B C=\left|y_1-y_2\right|$, 所以
$$
\mathrm{AB}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2\right)^2+\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)^2}
$$



反之, 可将代数式 $\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$ 的值看作点 $\left(x_1, y_1\right)$ 到点 $\left(x_2, y_2\right)$ 的距离. 例如

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{x^2-2 x+y^2+2 y+2}=\sqrt{\left(x^2-2 x+1\right)+\left(y^2+2 y+1\right)}=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}= \\
& \sqrt{(x-1)^2+[y-(-1)]^2} .
\end{aligned}
$$
所以可将代数式 $\sqrt{x^2-2 x+y^2+2 y+2}$ 的值看作点 $(x, y)$ 到点 $(1,-1)$ 的距离.
(1) 利用材料一, 解关于 $x$ 的方程: $\sqrt{20-x}-\sqrt{4-x}=2$, 其中 $x \leqslant 4$;
(2) ①利用材料二, 求代数式 $\sqrt{x^2-2 x+y^2-16 y+65}+\sqrt{x^2+4 x+y^2-4 y+8}$ 的最小 值, 并求出此时 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数关系式, 写出 $\mathrm{x}$ 的取值范图;
②将①所得的 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数关系式和 $\mathrm{x}$ 的取值范围代入 $\mathrm{y}=$ $\sqrt{2 x^2+5 x+12}+\sqrt{2 x^2+3 x+6}$ 中解出 $x$, 直接写出 $x$ 的值.