单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I_1=\iint_D \sin \left|\frac{x-y}{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\iint_D y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^2+y^3}{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中平面区域 $D$ 由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 所围成.
计算 $\iint_D\left|y-x^2\right| \max \{x, y\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中
$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\} .$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$, 计算 $\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$, 其中
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} .
$$
计算 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x}} \frac{x+y}{x^2+y^2} \mathrm{~d} y$.
计算 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_2^4 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$.
设 $f(x)=\int_x^1 \sin \left(\pi u^2\right) \mathrm{d} u$, 求 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$.
计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$.