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2026年广东省数学竞赛预赛试题与答案

发布日期 2026/5/25 8:56:40      查看 58      加入组卷      查看作者     
填空题
设$S=\left\{a: a^2 < 2026\right\}, T=\left\{a\right.$ ：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4 x+a=0$ 有整数根 $\}$ ，则 $S \cap T$ 的元素个数为
已知 $\log _2 x=\log _3 y=\log _5 \sqrt{x^2+y^2}$ ，则 $x y=$
有 24 名小朋友排成一圈，现在要将小朋友们两两配对，一共配成 12 对，并要求任意两名配对的小朋友之间恰好隔了 3 名小朋友，则共有 $\_\_\_\_$种配对的方法
在平面直角坐标系中，点 $A(-3,0), B(3,0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M A| \cdot|M B|=6$ ，则 $M$ 的纵坐标的最大值为
若存在 $n+1$ 个实数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 同时满足
（1）$a_0=-2026 a_1$ ；
（2）对 $k=1,2, \ldots, n-1$ ，有 $a_{k+1}=\frac{a_k^2}{2 a_k+a_{k-1}}$ ．
则正整数 $n$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．
在矩形 $A B C D$ 中，$A B=3, B C=2$ ．将 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起后形成三棱锥 $D-A B C$ ．当三核锥 $D-A B C$ 的体积最大时，直线 $A C, B D$ 所成角的余弦值为
设整数 $1=a_1 < a_2 < \ldots < a_7=100$ ，则 $\sum_{i=1}^6\left[\frac{a_{i+1}}{a_i}\right]$ 的最小可能值为 $\_\_\_\_$ ．注：$[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数
四个互不相等的复数 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 的实部和虚部都是非负整数，

$$
\left|z_1 z_2 z_3 z_4\right|=\sqrt{2026},
$$


则 $\left|z_1+z_2+z_3+z_4\right|=$
给定平面直角坐标系内三点 $A\left(\frac{1}{2}, 0\right), B\left(2, \frac{3}{2}\right), C(2,-2)$ ．过 $A$ 作一条直线与圆 $x^2+y^2=1$ 交于两点 $P, Q$ ，则 $\frac{|B P|}{|C Q|}$ 的取值范围是
设 $H$ 是锐角三角形 $A B C$ 的垂心，三角形 $A B H, B C H, C A H$ 的面积分别为 $2,3,4$ ，则三角形 $A B C$ 的外接圆的面积为
解答题
设 $a_0=1, a_{n+1}=2 a_n-1+\sqrt{3 a_n^2-6 a_n+4}(n \geq 0)$ ，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
设 $A B C D$ 是一个凸四边形，延长 $D C, A B$ 交于点 $E$ ，已知

$$
B E=A B, \quad B D-A D=A C-B C=\frac{1}{2} A B, \quad C D=\sqrt{5} A B .
$$
求 $\tan \angle A E D$ ．
证明题
证明：对任意满足 $0 < b-a \leq 1$ 的实数 $a, b$ ，开区间 $(a, b)$ 内分母最小的分数是唯一的（分母必须是正整数，整数视为分母为 1 的分数）；
（2）设整数 $m \geq 2$ ，实数 $a, b$ 满足

$$
\frac{1}{m(m+1)} < a < b < 1-\frac{1}{m(m+1)}, \quad b-a>\frac{1}{m+1} .
$$

证明：开区间 $(a, b)$ 内分母最小的分数的分母不超过 $m$ ．
有 100 名乒乓球选手参加一次单打联赛，每两人最多打一场，每一场比赛都会分出胜负，已知比赛结束后，对任意四名两两比赛过的选手，都可以从中选出三名选手，使得这三名选手之间的比赛中，每人都恰胜了一场．求比赛场数的最大可能值．