解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $z=1-\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)$ 在点 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数．
求函数 $u=x+y+z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处，沿球面在该点的外法线的方向的方向导数．
设在 $x O y$ 平面上各点的温度 $T$ 与点的位置间的关系为 $T=4 x^2+9 y^2$ ，试求 ：
（1）在点 $P(9,4)$ 处沿方向角为 $\alpha=\frac{5 \pi}{6}, \beta=\frac{2 \pi}{3}$ 的方向 $\vec{l}$ 的温度变化率；
（2）在点 $P$ 处沿什么方向温度变化率取得最大值，并求此最大值．
求函数 $u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$ 在点 $M(x, y, z)$ 处沿该点向径 $\vec{r}=\overrightarrow{O M}$ 方向的方向导数，若对所有的点 $M$ 均有 $\left.\frac{\partial u}{\partial r}\right|_M=|\nabla u(M)|$ ，问 $a, b, c$ 之间有何关系？
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程及法平面方程．
设 $f(u, v)$ 是可微函数，常数 $a, b, c$ 不全为零，试证明曲面 $f(c x-a z, c y-b z)=0$ 上各点的切平面均平行于一个定向量．
已知直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 经过曲面 $z=x^2+y^2$ 上点 $(1,-2,5)$ 处的切平面，求 $a, b$ 的值．