填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-x}{x^2}=2$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
设 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$ 的逆时针方向，则 $\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} x^n$ 的收敛域为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：
（1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)=1-\xi$ ；
（2）存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ 。
计算二重积分 $\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq\right. 4, x \geq 0, y \geq 0\}$ 。
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x \cos x$ 的通解。
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$ 。
（1）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
（2）试证：对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛。