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上海交通大学《高等数学》第一学期期中试卷

发布日期 2026/3/31 21:54:58      查看 61      加入组卷      查看作者     
单选题
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中，是 $\ln (x+\sqrt{1-2 x})$ 主部的是（ ）．
$\text{A.}$ $2 x$ ； $\text{B.}$ $-\frac{1}{4} x^2$ ； $\text{C.}$ $-x$ ； $\text{D.}$ $-\frac{1}{2} x^2$ ．
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且有唯一零点，则函数 $y= \sqrt{|f(x)|}$ 不可导点的个数（ ）。
$\text{A.}$ 恰有 1 个； $\text{B.}$ 至少 1 个； $\text{C.}$ 至多 1 个； $\text{D.}$ 以上选项都可能。
已知 $a$ 是非负常数，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n n!}{n^n}$ 存在，则 $a$ 的取值范围是（ ）．
$\text{A.}$ $[0, \mathrm{e})$ ； $\text{B.}$ $(0, e)$ ； $\text{C.}$ $(0, \mathrm{e}]$ ； $\text{D.}$ $[0, \mathrm{e}]$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_{n+1}=f\left(a_n\right), n=1,2, \cdots$ ，其中函数 $f(x)$ 是下列选项中的函数之一。若 $\left\{a_n\right\}$ 总是严格单调递增的，则 $f(x)=()$ ．
$\text{A.}$ $\sin x$ ； $\text{B.}$ $\ln \left(\mathrm{e}^x+1\right)$ ； $\text{C.}$ $\mathrm{e}^x-3 x$ ； $\text{D.}$ $x^2$ ．
设 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微，下列命题中，错误命题的个数为 ）．
（1）$f(x)$ 是偶函数，则 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数；
（2）$f^{\prime}(x)$ 是奇函数，则 $f(x)$ 是偶函数；
（3）$f(x)$ 是奇函数，则 $f^{\prime}(x)$ 是偶函数；
（4）$f^{\prime}(x)$ 是偶函数，则 $f(x)$ 是奇函数；
$\text{A.}$ 3； $\text{B.}$ 2 ； $\text{C.}$ 1 ； $\text{D.}$ 0 ．
填空题
若 $f(x)=\cos x, x \in[\pi, 2 \pi]$ ，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$
设函数 $f(x)=x^3+2 x-4, g(x)=f(f(x))$ ，则 $g^{\prime}(0)=$
已知平面曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ ，则该曲线在 $t=\frac{\pi}{2}$ 处的切线方程为
设 $f(x)=\mathrm{e}^x \sin x$ ，则 $f^{(7)}(x)=$
设函数 $y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x$ ，则 $\mathrm{d} y=$
解答题
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right) \frac{k+\sin ^2 k}{n^2}$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x \mathrm{e}^{f(y)}=C \mathrm{e}^y$ 确定，其中 $C$ 是非零常数，$f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(y) \neq 1$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
设 $x=f(y)$ 是函数 $y=x+\ln x$ 的反函数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} y^2}$
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,1]$ 区间的最小值和最大值．