解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天 ＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的PM2．5和 $\mathrm{SO}_2$ 浓度（单位：$\mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^3$ ），得下表：
（1）估计事件＂该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75 ，且 $\mathrm{SO}_2$ 浓度不超过 150 ＂的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 $99 \%$ 的把握认为该市一天空气中PM 2.5 浓度与 $\mathrm{SO}_2$ 浓度有关？
附：$K^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有 $99 \%$ 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，$A$ 表示事件＂选到的人卫生习惯不够良好＂，$B$ 表示事件＂选到的人患有该疾病＂．$\frac{P(B \mid A)}{P(\bar{B} \mid A)}$ 与 $\frac{P(B \mid \bar{A})}{P(\bar{B} \mid \bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 $R$ ．
（ i ）证明：$R=\frac{P(A \mid B)}{P(\bar{A} \mid B)} \cdot \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})}{P(A \mid \bar{B})}$ ；
（ii）利用该调查数据，给出 $P(A \mid B), P(A \mid \bar{B})$ 的估计值，并利用（i）的结果给出 $R$ 的估计值．
一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到实验组，另外 20 只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）。
（1）设 $X$ 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望
2022 年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了＂雪上运动＂的热潮．为了解学生对＂雪上运动＂的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200 名学生进行问卷调查，得到以下信息：
① 抽取的学生中，男生占的比例为 $60 \%$ ；
② 抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为 $45 \%$ ．
③ 抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多 50 人．
（1）完成 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $\alpha=0.001$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
（2）（i）从随机抽取的这 200 名学生中采用分层抽样的方法抽取 20 人，再从这 20 人中随机抽取 3 人．记事件 $\mathrm{A}=$＂至少有 2 名是男生＂，事件 $B=$＂至少有 2 名喜欢雪上运动的男生＂，事件 $C=$＂至多有 1 名喜欢雪上运运的女生＂．试分别计算 $P(B \mid A)$ 和 $P(A B C)$ 的值．
（ii）根据第（i）问中的结果，分析 $P(A B C)$ 与 $P(B \mid A) P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A B)$ 的大小关系．
