填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int x f^{\prime \prime}(x) d x=$
若 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x^2 f(\ln x) d x=$
设 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$
数集 $\left\{(-1)^n+\frac{1}{n}\right\}$ 的聚点是
曲线 $f(x)=(2 x-1) e^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线是
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x+\tan ^2 x}{x \sin x}$
设 $f(x)=\arcsin \sqrt{1-x^2}-\ln \left(x^2+1\right)$ ，求 $d f(x)$ ；
设 $f(t)=\lim _{x \rightarrow+\infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ；
$\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{1-x^2}} d x$
求函数 $f(x)=\ln x$ 在 $x=1$ 处的泰勒公式；
求由参数方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=f^{\prime}(t) \\
y=t f^{\prime}(t)-f(t)
\end{array}\right.
$$
（设 $f^{\prime \prime}(t)$ 存在且不为 0 ）所确定的函数的一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 与二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ；
求函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{|x|(x+1)}$ 的间断点，并判别其类型；
设 $H=\left\{\left.\left(\frac{1}{n+2}, \frac{1}{n}\right) \right\rvert\, n=1,2, \cdots\right\}$ ，问能否从 $H$ 中选出有限个开区间覆盖 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，并说明理由。
设函数 $f(x)=2 x^3-3 x^2-36 x+25$
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）求函数的凹凸区间及拐点；
讨论函数 在 $x=0$ 的连续性与可导性。
$$
f(x)= \begin{cases}x \sin \frac{1}{x}, & x < 0 \\ x, & x \geq 0\end{cases}
$$
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
按数列极限的 $\varepsilon-N$ 定义，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^2+1}{3 n^2+2}=\frac{2}{3}
$$
证明：若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_0}|f(x)|=|A|$ ，并举例如说明 $A \neq 0$ 时，反之不一定成立；
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0, ~ f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ 。