单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x>0 \\ \ln \left(a+x^2\right), x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1／e
曲线 $x^3+y^3-x y=7$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为
$\text{A.}$ $x+11 y-23=0$
$\text{B.}$ $x+y-23=0$
$\text{C.}$ $x+11 y-13=0$
$\text{D.}$ $x+11 y-21=0$
由方程 $x y-e^x+e^y=0$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
若 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}+c$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sin x}{x^2}+c$
$\text{C.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}-\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
$\text{D.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}+\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
下列反常积分中收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{(x-1)^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^3} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+2 x+2} d x$
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-x \sin \frac{2}{x}\right)=$
设函数 $f(x)$ 可导，$y=f\left(x^2\right)$ ，则 $d y=$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+2 x+2} d x=$
定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2+x \cos x}{\sqrt{4-x^2}} d x=$
微分方程 $y^{\prime}=e^{x+y}$ 的通解为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2 x+e^{3 x}\right)^{\frac{1}{x}}$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定函数 $y=y(x)$, 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
求不定积分 ： $\int \frac{\sin x+8 \cos x}{2 \sin x+3 \cos x} d x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-x}, & x \geq 0 \\ 1+x^2, & x < 0\end{array}\right.$ ，求 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) d x$ 。
曲线 $y=e^x$ 与原点所引切线和 $y$ 轴三者所围成的平面图形为 D，
求 1 ）平面图形 D 的面积；2）D绕 × 轴旋转所成旋转体的体积。
求函数 $f(x)=x e^{-x}$ 的单调区间、凹凸区间 、极值及拐点。
已知连续函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) d t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$
设 $f(x)=\int_0^x e^{-t} \cos t d t$ ，求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值与最小值。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，当 $0 \leq x < 1$ 时，恒有 $0 < f(1) < f(x)$ 且 $f^{\prime}(x) \neq f(x)$ 。证明 ：在 $(0,1)$ 上存在唯一的一点 $\xi$ 使 得 $f(\xi)=\int_0^{\xi} f(t) d t$ 。