单选题 （共 19 题 ），每题只有一个选项正确
＂不怕一万，就怕万一＂这句民间谚语说明 ．
$\text{A.}$ 小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
$\text{B.}$ 小概率事件很少发生，不用怕；
$\text{C.}$ 小概率事件就是不可能事件，不会发生；
$\text{D.}$ 大概率事件就是必然事件，一定发生．
明明同学打靶时连续射击三次，事件＂至少有一次中靶＂的互斥事件是
$\text{A.}$ 三次均未中靶
$\text{B.}$ 只有两次中靶
$\text{C.}$ 只有一次中靶
$\text{D.}$ 三次都中靶
袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中有放回地摸球，用 A 表示＂第一次摸得白球＂，如果＂第二次摸得白球＂记为 $B$ ，＂第二次摸得黑球＂记为 $C$ ，那么事件 A 与 $B, \mathrm{~A}$ 与 $C$ 间的关系是
$\text{A.}$ A 与 $B, \mathrm{~A}$ 与 $C$ 均相互独立
$\text{B.}$ A 与 $B$ 相互独立， A 与 $C$ 互斥
$\text{C.}$ A 与 $B, \mathrm{~A}$ 与 $C$ 均互斥
$\text{D.}$ A 与 $B$ 互斥， A 与 $C$ 相互独立
袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是
$\text{A.}$ 至少有一个白球；都是白球
$\text{B.}$ 至少有一个白球；至少有一个红球
$\text{C.}$ 至少有一个白球；红、黑球各一个
$\text{D.}$ 恰有一个白球；一个白球一个黑球
下列说法正确的是
$\text{A.}$ 互斥事件一定是对立事件
$\text{B.}$ 某事件的概率为 1.1
$\text{C.}$ 若彩票中奖概率为 $\frac{1}{10}$ ，那么买 1000 张这种彩票一定能中奖
$\text{D.}$ 必然事件的概率为 1
甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为 $30 \%$ ，乙校成绩的优秀率为 $35 \%$ ，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的 $40 \%$ ，乙校参加考试的人数占总数的 $60 \%$ ，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
$\text{A.}$ 0.165
$\text{B.}$ 0.16
$\text{C.}$ 0.32
$\text{D.}$ 0.33
在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ ＂至少一张是移动卡＂和＂两张都是移动卡＂是互斥事件
$\text{B.}$ ＂至少一张是移动卡＂和＂至少一张是联通卡＂是互斥事件
$\text{C.}$ ＂恰有一张是移动卡＂和＂两张都是移动卡＂是互斥事件，也是对立事件
$\text{D.}$ ＂至少一张是移动卡＂和＂两张都是联通卡＂是对立事件
从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是
$\text{A.}$ 至少有一本政治与都是数学
$\text{B.}$ 至少有一本政治与都是政治
$\text{C.}$ 至少有一本政治与至少有一本数学
$\text{D.}$ 恰有 1 本政治与恰有 2 本政治
一个人连续射击 2 次，则下列各事件关系中，说法正确的是
$\text{A.}$ 事件＂两次均击中＂与事件＂至少一次击中＂互为对立事件
$\text{B.}$ 事件＂第一次击中＂与事件＂第二次击中＂为互斥事件
$\text{C.}$ 事件＂两次均未击中＂与事件＂至多一次击中＂互为对立事件
$\text{D.}$ 事件＂恰有一次击中＂与事件＂两次均击中＂为互斥事件
某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件A 该家庭既有男孩又有女孩；事件 $B$ ：该家庭最多有一个男孩；事件 $C$ ：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥但不对立
$\text{B.}$ 事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥且对立
$\text{C.}$ 事件 $B$ 与事件 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ 事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立
从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是
$\text{A.}$ 至少有一个黑球与都是黑球
$\text{B.}$ 至少有一个黑球与至少有一个红球
$\text{C.}$ 恰有一个黑球与恰有两个黑球
$\text{D.}$ 至少有一个黑球与都是红球
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 事件 A 发生的概率 $P(A)$ 等于事件 A 发生的频率 $f_n(A)$
$\text{B.}$ 一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是 $\frac{1}{6}$ ，说明这个骰子掷 6 次一定会出现一次 3 点
$\text{C.}$ 掷两枚质地均匀的硬币，事件 A 为＂一枚正面朝上，一枚反面朝上＂，事件 $B$ 为＂两枚都是正面朝上＂，则 $P(A)=2 P(B)$
$\text{D.}$ 对于两个事件 $\mathrm{A} 、 B$ ，若 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ ，则事件 A 与事件 $B$ 互斥
连续掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 $a, b$ ，记 $m=a+b$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 事件＂$a=b$＂的概率为 0
$\text{B.}$ 事件＂$m>12$＂为必然事件
$\text{C.}$ 事件＂$m=2$＂与＂$m \neq 3$＂为对立事件
$\text{D.}$ 事件＂$m$ 是奇数＂与 $a=b$＂为互斥事件
从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：
（1）至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；
（2）至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；
（3）恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；
（4）至少有一个黑球与都是红球是对立事件．
在上述说法中正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\mathrm{A}, B, C$ 是一组两两相互独立的事件，则 $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$
$\text{B.}$ 若 A，$B$ 事件满足 $P(A)+P(B)=1$ ，则 $\mathrm{A}, B$ 是对立事件
$\text{C.}$ 若 $\mathrm{A}, B$ 是互斥事件，则 $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
$\text{D.}$ ＂A，B 是互斥事件＂是＂A，B 是对立事件＂的充分不必要条件
国家于 2021 年 8 月 20 日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件 A ：该家庭既有男孩又有女孩；事件 $B$ ：该家庭最多有一个男孩；事件 $C$ ：该家庭最多有一个女孩．则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥但不对立
$\text{B.}$ 事件 A 与事件 $B$ 互斥且对立
$\text{C.}$ 事件 $B$ 与事件 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ 事件 A 与事件 $B$ 相互独立
甲：$A_1 、 A_2$ 是互斥事件；乙：$A_1 、 A_2$ 是对立事件，那么
$\text{A.}$ 甲是乙的充要条件
$\text{B.}$ 甲是乙的充分但不必要条件
$\text{C.}$ 甲是乙的必要但不充分条件
$\text{D.}$ 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
我国古代数学名著《九章算术》有＂米谷粒分＂题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为
$\text{A.}$ 134 石
$\text{B.}$ 169 石
$\text{C.}$ 338 石
$\text{D.}$ 1365 石
从一堆苹果中任取 10 只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在［114．5，124．5）内的频率为
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.4
$\text{D.}$ 0.5
多选题 （共 10 题 ），每题有多个选项正确
连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 $A=$＂第一次出现 2 点＂，$B=$＂第二次的点数小于 5 点＂，$C=$＂两次点数之和为奇数＂， $D=$＂两次点数之和为 9 ＂，则下列说法正确的有（ ）
$\text{A.}$ A 与 $B$ 不互斥且相互独立
$\text{B.}$ A 与 $D$ 互斥且不相互独立
$\text{C.}$ $B$ 与 $D$ 互斥且不相互独立
$\text{D.}$ A 与 $C$ 不互斥且相互独立
从 1，2，3，L， 9 中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有
$\text{A.}$ ＂三个都为偶数＂和＂三个都为奇数＂
$\text{B.}$ ＂至少有一个奇数＂和＂至多有一个奇数＂
$\text{C.}$ ＂至少有一个奇数＂和＂三个都为偶数＂
$\text{D.}$ ＂一个偶数两个奇数＂和＂两个偶数一个奇数＂
连续抛掷两次骰子，＂第一次抛掷结果向上的点数小于 3 ＂记为 $A$ 事件，＂第二次抛掷结果向上的点数是 3 的倍数＂记为 $B$ 事件，＂两次抛掷结果向上的点数之和为偶数＂记为 $C$ 事件，＂两次抛郑结果向上的点数之和为奇数＂记为 $D$ 事件，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 互斥
$\text{B.}$ $C$ 与 $D$ 互斥
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $B$ 与 $D$ 一定不相互独立
一个装有 8 个球的口袋中，有标号分别为 1,2 的 2 个红球和标号分别为 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸 1 个球，设事件 $A=$＂摸出的球是红球＂，事件 $B=$＂摸出的球标号为偶数＂，事件 $C=$＂摸出的球标号为 3 的倍数＂，则
$\text{A.}$ 事件 $A$ 与事件 $C$ 互斥
$\text{B.}$ 事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥
$\text{C.}$ 事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立
$\text{D.}$ 事件 $B$ 与事件 $C$ 相互独立
一个质地均匀的正四面体 4 个表面上分别标有数字 $1,2,3,4$ ，抛郑该正四面体两次，记事件 $M$ 为＂第一次向下的数字为 3 或 4 ＂，事件 $N$ 为＂两次向下的数字之和为偶数＂，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 事件 $M$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 事件 $M$ 与事件 $N$ 互斥
$\text{C.}$ 事件 $M$ 与事件 $N$ 相互独立
$\text{D.}$ 事件 $M+N$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$
下列说法不正确的是
$\text{A.}$ 若 $A, B$ 为两个事件，则＂$A$ 与 $B$ 互斥＂是＂$A$ 与 $B$ 相互对立＂的必要不充分条件
$\text{B.}$ 若 $A, B$ 为两个事件，则 $P(A+B)=P(A)+P(B)$
$\text{C.}$ 若事件 $A, B, C$ 两两互斥，则 $P(A)+P(B)+P(C)=1$
$\text{D.}$ 若事件 $A, B$ 满足 $P(A)+P(B)=1$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互对立
口袋里装有 2 红， 2 白共 4 个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件 $A=$＂取出的两球同色＂，事件 $B=$＂第一次取出的是红球＂，事件 $C=$＂第二次取出的是红球＂，事件 $D=$＂取出的两球不同色＂，下列判断中正确的
$\text{A.}$ A 与 $D$ 互为对立
$\text{B.}$ $B$ 与 $C$ 互斥
$\text{C.}$ A 与 $B$ 相互独立
$\text{D.}$ $B$ 与 $D$ 相互独立
一箱产品有正品 10 件，次品 2 件，从中任取 2 件，有如下事件，其中互斥事件有
$\text{A.}$ ＂恰有 1 件次品＂和＂恰有 2 件次品＂
$\text{B.}$ ＂至少有 1 件次品？和＂都是次品＂
$\text{C.}$ ＂至少有 1 件正品＂和＂至少有 1 件次品＂
$\text{D.}$ ＂至少有 1 件次品＂和＂都是正品＂
一个人打靶时连续射击两次，甲表示事件＂至少有一次中靶＂，乙表示事件＂恰有一次中靶＂，丙表示事件＂两次都中靶＂，丁表示事件＂两次都不中靶＂，则
$\text{A.}$ 甲与乙是互斥事件
$\text{B.}$ 乙与丙是互斥事件
$\text{C.}$ 乙与丁是对立事件
$\text{D.}$ 甲与丁是对立事件
盒子里有 2 个红球和 2 个白球，从中不放回地依次取出 2 个球，设事件 $A=$＂两个球颜色相同＂，$B=$＂第 1 次取出的是红球＂，$C=$＂第 2 次取出的是红球＂，$D=$＂两个球颜色不同＂．则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $D$ 互为对立
$\text{C.}$ $B$ 与 $C$ 互斥
$\text{D.}$ $B$ 与 $D$ 相互独立
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是 3 局 2 胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生 $1 \sim 5$ 之间的随机数，当出现随机数 1,2 或 3 时，表示一局比赛甲获胜，其概率为 0.6 ．由于要比赛三局，所以每 3 个随机数为一组．例如，产生了 20 组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为
袋子中有四个小球，分别写有＂中、华、民、族＂四个字，有放回地从中任取一个小球，直到＂中＂＂华＂两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 $0,1,2,3$ 代表＂中、华、民、族＂这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为
在一个口袋中放有 $m$ 个白球和 $n$ 个红球，这些球除颜色外都相同，某班 50 名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸 10 次，其中摸到白球的次数共 152 次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸 1 个球，则摸到红球概率的估计值为 $\_\_\_\_$ ．（小数点后保留一位小数）
已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965
据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为
＂键盘侠＂一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象。某地新闻栏目对该地区群众对＂键盘侠＂的认可程度进行调查：在随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有 7600 人，则可估计该地区对＂键盘侠＂持反对态度的有 $\_\_\_\_$人