填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x+x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=t^3\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 对应点处的切线方程为
设当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ ，$b=$
曲线 $y=1-x^2$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为
已知曲线 $l$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $l$ 围成的有界区域的面积为
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{d} x=$
设函数 $y=y(x)$ 由 $x^2+x y+y^3=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(1)=$
设 $f(x)=x^2\left(e^x+1\right)$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[e^{\frac{1}{x}}-x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t, \\ y=\sin ^3 t\end{array} \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 的弧长．
求不定积分 $\int x \ln \frac{x-1}{x+1} \mathrm{~d} x$
已知函数 $f(x)=x \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x e^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴所围成．已知 $D$ 的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最大值．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $e^{a_n}=a_n+e^{b_n}$ ，其中 $0 < a_n < \frac{1}{n^2}$ ．
证明：（1） $0 < b_n < \frac{3 a_n^2}{4}$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots+\frac{b_n}{a_n}\right)$ 存在．
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有 2 阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=f(1)=0$ ．证明：
（1）$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在唯一零点 $x_0$ ，且当 $x \in(0,1)$ 时 $f(x)>0$ ；
（2）$\exists x_1 \in\left(0, x_0\right), x_2 \in\left(x_0, 1\right)$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ ，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x < f\left(x_0\right)\left(x_2-x_1\right)$ ．