设 $f \in C(0,+\infty)$ ，并且 $\forall a>0, b>1$ ，都有积分值 $\int_a^{a b} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关，求证：存在常数 $C$ ，使得 $f(x)=\frac{C}{x}, x \in(0,+\infty)$ 。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $(f(x))^2 \leq 1+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]$ ，证明： $f(x) \leq 1+x, x \in[0,1]$.
设 $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ 为实系数 $n$ 次多项式。若 $p(x) \geq 0$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ，证明：$p(x)+p^{\prime}(x)+...+p^{(n)}(x) \geq 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
这里 $p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x), ~ p^{(n)}(x)$ 表示 $p(x)$ 的一阶，二阶，以及 $n$ 阶导数。
设 $h>0, f(x)$ 为闭区间 $[-h, h]$ 上的无穷可导函数，且 $\forall x \in[0, h]$ ，以及任意的非负整数 $n$ ，都有 $f^{(n)}(x) \geq 0$ 。记 $r_n(x)=\frac{1}{n!} \int_0^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t$ ，求证：$\forall x \in(0, h)$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} r_n(x)=0$ 。