填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 2 a_1 & 2 a_2 & 2 a_3 \\ 2 c_1 & 2 c_2 & 2 c_3\end{array}\right|=$
设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解，则 $\lambda=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|-2 \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=$
设 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right), \boldsymbol{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，则 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1}=$
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{-1}=$
设向量 $\boldsymbol{\alpha}=(4,-1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(0,-5,1)^{\mathrm{T}}$ ，且 $3 \boldsymbol{\alpha}-2 \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{\gamma}=$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ ，若 $\alpha_3=2 \alpha_1-\alpha_2$ ，则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性 $\_\_\_\_$（填写相关或不相关）
设 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 5 元线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $R(\boldsymbol{A})=$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $-1,1,2$ ，则 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}$ 的特征值为
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|4 \boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 必有一个特征值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 & 1\end{array}\right|$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ，求 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}$ 及矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,-3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(4,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-3,1,-1,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(2,-3,4,2)^{\mathrm{T}}$ ， （1）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的秩 $r$ ，并依此判断向量组的线性相关性；（2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表示．
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1-x_2+4 x_3-x_4=1 \\ x_1+x_2-2 x_3+3 x_4=3 \\ 3 x_1-x_2+6 x_3+x_4=5 \\ x_1+3 x_2-8 x_3+7 x_4=5\end{array}\right.$ ，
（1）求方程组的一个解；（2）求方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的一个基础解系；（3）写出方程组的通解．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；（2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵并写出对角阵．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足方程 $\boldsymbol{A}^2+3 \boldsymbol{A}-6 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，证明矩阵 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆，并求 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}$ ．