解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\arctan \left[2+(-1)^n\right]}{n^n}$ ；
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}, \alpha>0$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ ．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数敛散性。若非正项级数需讨论条件收敛和绝对收敛性。
（1）$\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right), \alpha>0$ ．
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 0 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和。 4．（8 分）求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ ．
求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ ．
设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上 $2 \pi$ 周期的奇函数。在 $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x(\pi-x)$ ．
（1）证明：$\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ((2 n-1) x)}{(2 n-1)^3}$ ；
（2）求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^6}$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-e^{-x}\right)}{(1+x)^m} d x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围。
判断广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x \ln x}{x^2} d x$ 的敛散性。
设 $f(t)=\left(\int_0^t e^{-x^2} d x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{e^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} d x$ ．证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x$ ．